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2019-2020年高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数课时跟踪检测76理新人教A版

2019-2020 年高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数课时跟踪检

测 76 理新人教 A 版
1.[xx·江西九江模拟]已知函数 f(x)=|x-3|- |x-a|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≤-12; (2)若存在实数 a,使得不等式 f(x)≥a 成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)∵a=2,

?? 1,x≤2, ∴f(x)=|x-3|-|x-2|=?5-2x,2<x<3,
??-1,x≥3,

∴f(x)≤-12等价于?????x1≤≤2-,12

??2<x<3, 或???5-2x≤-12

??x≥3, 或???-1≤-12,

解得141≤x<3

或 x≥3,

∴不等式的解集为???141,+∞???.
(2)由不等式性质可知, f(x)=|x-3|-|x-a|

≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,

∴若存在实数 x,使得不等式 f(x)≥a 成立,

则|a-3|≥a,解得 a≤32,

∴实数 a 的取值范围是???-∞,32???. 2.[xx·甘肃兰州模拟]已知函数 f(x)=|2x-a|+a.

(1)若不等式 f(x)≤6 的解集为[-2,3],求实数 a 的值;

(2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f(n)≤m-f(-n)成立,求实数 m 的取值范围.

解:(1)由|2x-a|+a≤6,得|2x-a|≤6-a,

∴a-6≤2x-a≤6-a,即 a-3≤x≤3,

∴a-3=-2,∴a=1. (2)由(1)知,f(x)=|2x-1|+1,

令 φ (n)=f(n)+f(-n), 则 φ (n)=|2n-1|+|2n+1|+2

?2-4n,n≤-12, ??= 4,-12<n≤12, ??2+4n,n>12,
∴φ (n)的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是[4,+∞). 3.[xx·河南郑州模拟]已知函数 f(x)=|3x+2|. (1)解不等式 f(x)<4-|x-1|; (2)已知 m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤1m+1n(a>0)恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)不等式 f(x)<4-|x-1|, 即|3x+2|+|x-1|<4. 当 x<-23时,即-3x-2-x+1<4, 解得-54<x<-23; 当-23≤x≤1 时,即 3x+2-x+1<4, 解得-23≤x<12; 当 x>1 时,即 3x+2+x-1<4,无解. 综上所述,x∈???-54,12???. (2)1m+1n=???1m+1n???(m+n)=1+1+nm+mn≥4, 令 g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|
??2x+2+a,x<-23, ?= -4x-2+a,-23≤x≤a, ??-2x-2-a,x>a,
∴x=-23时,g(x)max=23+a,要使不等式恒成立, 只需 g(x)max=23+a≤4,即 0<a≤130. 故实数 a 的取值范围为???0,130???.

4.已知 a,b,c 均为正实数,且互不相等,且 abc=1,求证: a+ b+ c<1a+1b+1c. 证明:证法一:∵a,b,c 均为正实数,且互不相等,且 abc=1,

∴ a+ b+ c=

b1c+

c1a+

1 ab

111111 <b+2 c+c+2 a+a+2 b=1a+1b+1c.

∴ a+ b+ c<1a+1b+1c.

11 证法二:∵a+b≥2

1 ab=2

c,

1b+1c≥2 b1c=2 a,

1c+1a≥2 a1c=2 b,

∴以上三式相加,得1a+1b+1c≥ a+ b+ c. 又 a,b,c 互不相等, ∴1a+1b+1c> a+ b+ c. 证法三:∵a,b,c 是不等正数,且 abc=1, ∴1a+1b+1c=bc+ca+ab =bc+2 ca+ca+2 ab+ab+2 bc

> abc2+ a2bc+ ab2c= a+ b+ c, ∴ a+ b+ c<1a+1b+1c.

[冲刺名校能力提升练] 1.[xx·辽宁沈阳模拟]设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若 f(x)+3|x-4|>m 对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 x≥4 时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,得 x>-5,所以 x≥4; 当-12≤x<4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得 x>1,所以 1<x<4;

当 x<-12时,f(x)=-x-5>0,得 x<-5,

所以 x<-5. 综上,原不等式的解集为(-∞,-5)∪(1,+∞). (2)f(x)+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4| ≥|2x+1-(2x-8)|=9, 当且仅当-12≤x≤4 时等号成立, 所以 m<9,即 m 的取值范围为(-∞,9). 2.[xx·广西南宁模拟]已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若 f(x)≤m 的解集为[-1,5],求实数 a,m 的值; (2)当 a=2 且 0≤t≤2 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2). 解:(1)∵|x-a|≤m, ∴-m+a≤x≤m+a. ∵-m+a=-1,m+a=5, ∴a=2,m=3. (2)f(x)+t≥f(x+2)可化为|x-2|+t≥|x|. 当 x∈(-∞,0)时,2-x+t≥-x,2+t≥0, ∵0≤t≤2,∴x∈(-∞,0); 当 x∈[0,2)时,2-x+t≥x,x≤1+t2, ∵1≤1+t2≤2, ∴0≤t<2 时,0≤x≤1+t2,t=2 时,0≤x<2; 当 x∈[2,+∞)时,x-2+t≥x,t≥2, 当 0≤t<2 时,无解,当 t=2 时,x∈[2,+∞). ∴当 0≤t<2 时原不等式的解集为???-∞,t2+1???; 当 t=2 时 x∈R. 3.[xx·辽宁联考]已知函数 f(x)=log2(|x+1|+ |x-2|-m). (1)当 m=7 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥2 的解集是 R,求 m 的取值范围. 解:(1)由题设知,|x+1|+|x-2|>7, 不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

??x≥2, ???x+1+x-2>7

或?????-x+1≤1-x<x2+,2>7

或?????x-<- x-1,1-x+2>7, 解得函数 f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(4,+∞). (2)不等式 f(x)≥2,即|x+1|+|x-2|≥m+4, ∵x∈R 时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 不等式|x+1|+|x-2|≥m+4 的解集是 R,

∴m+4≤3,∴m 的取值范围是(-∞,-1]. 4.[xx·吉林长春质检](1)已知 a,b 都是正数,且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2; (2)已知 a,b,c 都是正数,求证:a2b2+ a+b2bc+2+cc2a2≥abc.

证明:(1)(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2. 因为 a,b 都是正数,所以 a+b>0. 又 a≠b,所以(a-b)2>0. 于是(a+b)(a-b)2>0, 即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 所以 a3+b3>a2b+ab2. (2)因为 b2+c2≥2bc,a2>0, 所以 a2(b2+c2)≥2a2bc.① 同理,b2(a2+c2)≥2ab2c.② c2(a2+b2)≥2abc2.③ ①②③相加,得 2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2, 从而 a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).

由 a,b,c 都是正数,得 a+b+c>0, 因此a2b2+ a+b2bc+2+cc2a2≥abc.




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