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含指数为素数幂的超可解子群的有限群

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V o 1 . 2 3 ( 2 0 0 3 )  
No. 4  







志 

J . o f  Ma t h . ( P R C)  

含 指 数 为 素 数 幂 的超 可 解 子 群 的 有 限群 
王坤 仁 
( 四 川 师 范 大 学数 学 系 , 成都 , 6 1 0 0 6 8)  
摘要 : 本 文讨 论 含指数 为 素数幂 的超 可解 子 群 的有 限群 的结 构 . 首 先得 到具 有 这种 性 质 的非  Ab e l 有 限单群 的完全 分类 定理 .其次 给 出了这 类群 是 可解 群和 超可 解群 的若 干充 分条 件 .   关键 词 :单群 ; 可解 群 ; 超可 解群 ; 指数 
MR ( 2 0 0 0 ) 主 题分 类 号 :2 0 D1 0   文献标 识 码 : A   中 图法分 类 号 :0 2 1 2 . 1   文 章编 号 : 0 2 5 5 - - 7 7 9 7 ( 2 0 0 3) o 4 一 O 4 9 1 — o 4  

1   引 言 
本 文里 的群都是 有 限群 ,除有特 别 申明者外 ,本文 里的术语 和符号都是标 准 的. G代 

表一个 有限群 ,P 表示 一个素数且 P ∈7 r ( c ) .   用极 大子群讨 论群本 身 的结构 是有 限群论 的一 个重 要 的方法 和课题 . 在这方 面 已有许 
多重要结果 , 比如 Wi e l a n d t 关 于幂零群 的定理 :G是 幂零群 的充要条件 是 G的每 个极 大子  群都是正 规 的.H u p p e r t 关 于超可 解群 的定 理 :G是超 可解群 的充要 条件是 G的每个 极 大 

了群的指 数都是 素数 . 本文讨 论含有指 数为素 数幂 的超可解 子群 的有 限群 的结 构 . 首先 我 
们得到 了具 有这 种性质 的非 A b e l 有 限单群 的完 全分类定 理 . 其 次我们利用 上述分类 定理 给  出了具 有这种 性质 的群 成为可 解群 的若 干充分条 件 . 最后我们 给 出了有 限超可解 群 的两个   充分条件 .   先约定 一些 术语 . 若B < M ≤G ,则 称 A I B为 G的一个 截段 . 每个 真子群 都是 幂零群 而  其本身 不是幂 零 群且有 正规 S y l o w   q - 子 群 的有 限群被称 为 g 一 基本 群.比如 四次交 代群 A   是2 一 基本群 . 我 们称有 限群 G为一个 拟 g 一 基 本群 ,若 G有初 等A b e l 正规 S y l o w   q - 子群 和  P   阶非 正规 S y l o w   P 一 子 群.比如令 月   =   b , c > , 其 中  =b 7 =C 2 =[ c 溯 =d T =1 ,c - l a c - b ,   c a b c =   :   ; G = H x K . 则 G是拟 7 — 基本群 ,因为 G的真子群可 以不是幂零群 ,故如此命名 .   显然,g — 基本群 当其 S y l o w   g — 子群为 A b e l 群时它是拟 g — 基本群 .  

2 有 限非 A b e l 单群 
定理 1   G是一个 含指数为 P幂 的超可解子群 的非 A b e l 单群 的充要 条件是G= P S L 2( q ) ,   q>3 是一 个 Me r s e n n e 素数 .   证 必要性 设  是 G的—个指数为 P幂 的超可解子群且 日是  的 H a l l p ' - 子群 , 则 
接收 日期 :2 0 0 1 - 0 9 - 3 0  

收稿 日期 :2 0 0 1 - - 0 3 - 3 0  

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4 9 2  







志 

Vo 1 . 2 3  

H也是 G的 H a l l   p   群. 令I G . ' HI = f. 于是 由 [ 1 】 中定理 1 知 G可能为下五型群之一 :   G = A   且日  
n为 素 数 ;   ( c )G = P S L 2 ( 1 1 ) 且 日二   5 :   ( d ) G=   且 H=   或 G =Mn且 H,  ̄M1 0 ;  

其中 n  a ;  

,  

( 6 )G = P S L . ( q ) 且 日是一直 线或一超* 面的稳定子群 ,此 时I G: 日I = ( q n - 1 ) , ( q — 1 )  4 ,  

( e )G= P S  ( 2) , - ' , P S p   ( 3 ) 且 日指数为 2 7的抛 物子群 .   因 日是 G的 H a n p ' - 子群 , 由 [ 1 】 中定理 后 的说 明知 G#P S U 4 ( 2) .因 A , 卜 。 , n ≥5 ,不 是  超可解 群 而 日是 超可 解群 ,所 以 G#A   ,并且 G#P S L : ( 1 1 ) . 再由 [ 2 ] 知i 1 , =和  。 。 都 不  是超可解群 ,故 G不是 上述 ( d ) 型群 . 所 以 G仅 可能是 ( b ) 型群 :   q=   r 、n 均 为素数 .   若n _ > - 3 且 q> 3 , 则P S L . ( q ) 有S y l o w 卜子群 R≤日.由 [ 3 】 中定理 5 . 3 知 日 的任一 
S y l o w子 群 s ≤‰
. 

n ( q ) , 其 中 

)  ) ,故 日≤^   )  ) . 于是 由I G: 日I = p 。 有P S L n ( q ) =  f   )  ) ,   n ( q ) 的旗 可迁子群 . 再由 [ 4 ] 中的定 理 A知秩 > - - 2 且 含旗 

其 中 P∈ S y l p ( P S L . ( q ) ) . 从而 P是 

可迁子群 的 C h e v a l l e y型 群 有 下 三 型 :( i )A   s ;( i i )B 2 ( 3 ) v , 2 A   s ( 2 ) ;( i i i i )P S L s ( 2 )  ̄P S L 2 ( 7 ) .   ( i )由上 面 的讨 论 已 知 G#A   s.  

( i i )因  3 )  尸 s  ( 2 )   ( i i i i )  

, ( 2 ) ,故 由上也 知 G不是此 型群 .   3 ) ;( 2 ) P S L . ( 2 ) ,n ≥3 ; ( 3 ) P S L 2 ( q ) .  

2 )  尸 s L 2 ( 7 ) 可归为 n = 2的情况 .  

综 上 ,G只可 能有下三种选 择 :( 1 )  

( 1 )对 于 P S L . ( 3 ) ,q=r=3 .因 ( q   - 1 ) / ( q — 1 )  4 ,由 【 l 】 中( 3 .3) 之 ( b ) 知 此 时必有 3 三1  


而这仅 当素数 n = 2时才 成立 . 但是 P S L 2 ( 3 ) 是可解 群 ,所 以 G  ̄P S L . ( 3 ) 其 中素数 n _ > - 3 .  
( 2 )对 于 P S L . ( 2 ) ,因  , ( 2 )  ̄P S L 2 ( 7 ) ,故 仅需 考虑 素数 n > 3的情 况 . 此 时 q= r =2 ,  

由【 l 】 中( 3 . 3 ) 之 ( b ) 知必 有 n = r = 2 成 立. 而 

2 ( 2 ) 是 可解 的 , 所 以 G#P S L . ( 2 ) ,n _ > - 3 为 素数.  

( 3 )对 于 P S L 2 ( q ) ,由 [ 1 】 中( 3 . 3 ) 之( c ) 知 有三 种可 能性 : ④ r 是 一个 F e r m a t 素 数且  口 = l ; ⑧ p= 3 ,口 =2 且q =8 ; ⑥ q是一个 Me r s e n n e 素数 且 P=2 .   若r 是一 个 F e r ma t 素数且 口 =1 ,则 p= q + l 为素数 . 但是 q + l = / + 1 是 偶数 ,故 P= 2 ,  
即 q=1 ,矛盾 . 所以 r 是 一个 F e r m a t 素数 且 口 =1 的情况是不 可能 的.   若 P=3 , 口 =2 且 q=8 ,由 【 5 蜘 在P S / _ a ( 2 3 ) 中,日是 P S / _ a ( 2 3 ) 的S y l o w   2 _ 子群 5 2 的正规化 
子 ,即有半直积 H =  o c   由 【 6 】 中定理Ⅺ. 4 . 1 l 知S 2 是2 3 阶初等 A b e l 群, K < A u t ( S 2 ) 为 7阶  循环 群 令 K=  > , 再由 [ 7 ] 中定 理 1 1 . 6知对 的方幂  1 ≤   ≤6 , 有  ∽ = 1 . 由此 即知 日   无正 规的循环子群 ,从而 日不是超可解 . 所 以P=3 , 口 = 2 且q = 8的情况 也不可能 出现.  

⑥ 口 是一 个 Me r s e n n e 素数且 P= 2的情况 .因 P S L 2 ( 3 ) 是可解 群 ,故 可设 口 > 3 . 再由 【 6 】  
中定理 1 . 4 . 1 1 知  ) 的S y l o w 2 一 子群  是 q + l 阶二面体 群 ,日是 P S L 2 ( q ) 的S y l o w q - 子 
1   1  

群 Q的正规化子,I H I =}口 ( q — 1 ) 且H / Q是÷( q — 1 ) 阶循环群. 故日是超可解群,  
并且 P S L 2 ( q ) = H S 2 . 所 以 G=   如) ,其 中 q > 3 是 M e r s e n n e 素数 .  
充分性 由必 要 性 证 明 的 最 后 一 段 即 明 .  

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N o . 4  

王坤仁

含 指 数为 素数 幂 的超 可解 子 群 的有 限群

4 9 3  



若 G是含 指数 为素 p的幂 的超 可解极 大子群  的非 A b e l 单群 ,则 由定 理 1 及 其 

证 明过程 知 G=P S L z ( q ) , q>3 是 M e r s e n n e 素数 ,   是 G的 H a l l   2 , - 子群 且  为  9  一 1 )   阶亚循 环群 . 若令 I G : MI = 2 r ,则 r 某 个奇素 数 ;再 注意 到 舰 如) ,9为 Me r s e n n e 素 数 ,含  A 。 ,据此 可得含指 数为 p幂 的超 可解极 大子群 的有 限群可 解 的几个充 分条件 ,即有  推论 含指数为 p幂 的超可解极大子群  的有 限群 G可解 , 若 G还满足下列 条件 之一 :  
(1 )2 I I MI ;  

( 2 )I G: MI 为奇 数或 I G: MI < 2   ;  
( 3) G无 截 段 同构 于 拟 9 一 基本群.  

3 有 限 超 可 解 群 
含有指数 为素数 的超 可解极大 子群的有 限群不 一定是超可解 ,   比如 四次交 代群 A 。 就  是一例子 . 下 面我们 给 出含素 数指数 的超 可解极 大子群 的有 限群成超可 解群 的两个 充分 条 
件.  

定理 2 若 G含指 数为 p的超可解极 大子群  且无 截段 同构于 阶为 P q %   >1 , 的拟  9 一 基本群 ,其 中 q = m a x万 (   ,则 G是超可解群 .   证 设定 理不成立 且 G是一个极 小阶反例 , 下面分 四步导 出矛盾从 而完成定 理 的证 明.   ( 1 )G的每个真商群都 是超可解群 .  

设 Ⅳ≠1 是 G的任 一正 规子群 .若 Nz  ̄M,则 , G=MN . 于是 G I N' - " M/ NN N且 由   是 
超可解 群知 G I N是超 可解 群.若 N ≤M,则 易验 知 G I N满足定 理全 部假 设条件 , 由 G为  极小 队反 例知 G I N是超可解 群.  
( 2) G有 唯 一 的极 小 正 规 子 群 Ⅳ=C d N ) .  

因 G有 指数 为 p的超 可 解大 子群  ,定 理 1的推论 知 G是可 解群 . 从而由 ( 1 ) 知 G   是可解外 一 超 可解群 . 超可 解群类是一个饱 和群系 ,于是 G满足 【 8 】 中主要 引理 6 . 1 的一切 
结 论 .因 此 G有 唯 一 的 极 小 正 规 子 群 Ⅳ且 N=C c (  .  

( 3 )N ≤ M 且 Ⅳ为初等 A b e l   9 一 群 ,其 中 q =m xT a r ( M) .   若Ⅳ   ,则 G=M N且  nⅣ = 1 .由I G: MI =I N 1 知 Ⅳ为 p阶循 环群. 故由 G I N是超可  解 群知 G是 超可解 群.矛盾 . 所 以 Ⅳ≤   .若 Ⅳ不 是 9 一 群 ,令 Q∈S y l q ( M) .因 M 是超 可解  群且 q = m a 】 【 万 ㈣ ,故 Q < I M,于是有直积Q x N,从而Q≤C   . 此与 ( 2 ) 矛盾. 所 以 Ⅳ是初  等A b e l   9 一 群.   ( 4)p≠9 且 G含 P q %   >1 , 阶拟 9 - 基本 群.   设Z ( Q) ≠1 是 Q∈S y l q ( G ) 的 中心. 若 p= 9 ,由I G: MI = p知q = m xz a c ( G ) .又 G I N是 超 
可 解 群 ,故 Q / N< 3   G I N.于 是 Q< I   G.从 而 Z( Q)   G.由 Ⅳ 的 唯 一 极 小 性 得 Ⅳ≤Z( Q) ,从  

而Q ≤C   = Ⅳ . 所 以 Q=Ⅳ . 但 N≤M,即有 G= M. 此矛 盾说 明 p ≠9 . 再 由I G: MI = p知  有 P∈ S y l p ( G ) 使 G= 啪
盾 证 明定 理 成 立 .  

有  ∈ P ,   = p .记 =  > ,则 T= L N<  ̄G .由 C d N ) = N 知 
>1 ,阶拟 9 - 基本子 群 . 此 矛 

设I N I = q   , 因 G是极 小 阶反 例有 >1 . 所 以  是 G之 p 9  

定理 3   G是超 可解 群的充要条 件是 G有指数 为 P的超 可解 子群  且 G有正 规 P 一 子 

 

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志 

vo 1 .2 3  

群 P   M.  



若 G是超可解 群 ,令 p = m a x g ( G ) , 则必要性 即明. 下证充 分性.   ,  

若 G不是超可解 群 ,则设 G是 一个 极小 阶反 例. 类 似定理 2 可证 :G的每个 真商群都  是超 可解 群 ,G有 唯一 的极小 正规 子群 N≤M 且 N=C c ( , v ) .因 G有 正规 p 一 子群 P   明极小 阶反例不存在 ,G是超 可解 群.   由P < I   G知 z( P)  G . 再 由 N的 唯一极小性 知 N≤ z ( P) .于是 P≤ C   ㈣. Ⅳ . 此 矛 盾说 

参考文献 :  
[ 1 1   R .M. G u r a l n i c k ,S u b g r o u p s   o f   p r i me   p o w e r   i n d e x   i n   a   s i mp l e   g r o u p 叨 .J . A l g e b r a .1 9 8 3 ,8 1 : 3 0 4 - 3 1 1 .   【 2 】P .G r e e n b e r g .Ma t h i e u   g r o u p s【 M】 .C o u r a n t   I n s t i t u t e   o f   Ma t h e ma t i c a l   S c i e n c e s ,N e w   Yo r k   U n i v e r s i t y 。  
1 9 73.  

【 3 】J r .S p i t z n a g e 1 . Ha l l   s bg u r o u p s   o f   c e r t a i n   f a mi l i e s   o f   i f it n e   g r o u p s  

Ma h.Z t .1 9 6 7 ,9 7 :2 5 9 — 2 9 0 .  

【 4 】G .M.S e i t z .F hg _ t r a n s i t i v e   s u b g r o u p s   o f   C h e v a l l e y   g r o u p s【 J ] .An n .o f   Ma h.1 t 9 7 3 , 9 7 :2 7 - 5 7 .  
【 5 】M.B l a u m.T h e   f a c t o r i z a i t o n   o f   c e r t a i n   f a mi h e s   o f   s i mp l e   g r o u p s【 M】 .R e s e a r c h   he T s i s , I s r a e l   I n s t i t u t e  
o f  T e c h n o l o g y ,Ha if a ,1 9 81 .  

【 6 】徐 明曜 、* 华 、李 慧 陵 、李 世荣 .有 限群 导引入 ( 下册 ) 【 M】 .北京 :科学 出版 社 ,1 9 9 9 .  
【 7 】H.K u r z w e i l .E n d l i c h e   g r u p p e n【 M】 .S p r i n er g - v e r l a g ,B e r l i n ,H e i de l b e r g ,N e w   Yo r k :1 9 7 7 .  

【 8 】陈 重穆 .内 ̄ ' b -Z群 与极 小 非 ∑群 【 M】 .北碚 :西南 师 范大学 出 版社 ,1 9 8 8 .  

FI NI TE  GRoUP S   W I TH   S UPERS o LVABLE  S UBG Ro UPS   o F  PRI Ⅳ【 E   Po W ER 帅
WA NG   K u n - r e n ( .  ̄坤 仁 )  
( D e p t   o f   Ma t h ,S i c h u a n   No r ma l   U n i v e r s i t y ,C h e n g d u ,6 1 0 0 6 6 )  

EX 

Ab s t r a c t :

I n   hi t s   p a p e r ,

w e  d i s c u s s  t he  s t r u c t ur e  o f   i f n i t e  g r o u p s   wi h  t s u p e r el s v a b l e   s bg u r o u p s  o f  

p ime r   o we p r   i n d e x .F i st r , we   o b t in a   he t   c o mp l e t e   c l a s s i i f c a t i o n   t h e o r e m  o f   n o n -a b e l i a n   i f n i t e   s i mp l e  g r o u p s   it w h  t h i s  p r o p e r t y : G  i s  a  n o n a b e l i a n  s i mp l e  g r o u p   c o n t in a i n g  s u p e r el s v a b l e  ma x i ma l  s u b g r o u p s  w it h  p ime r  

ow p e r   i n d e x   i f   a n d   o n l y   i f   G =P S L 2 ( q ) ,w h e e  r q>3 ,a   Me r s e n n e   p im r e .N e x t ,w e   p r o v i d e   s o me   s u f i c i e n t  
c o n d i i t o n s   o f   i f n i t e   s o l v a b l e   g r o u p s   nd a   i f n i t e   s o l v a b l e   g r o u s  p nd a   i f n i t e  s u p e r el s v bl a e   g r o u s p
Ke y wo r d s :s o l v bl a e   g r o u p ;s u p e r el s v bl a e   g r o u p ;s i mp l e   g r o u p ;i n d e x  
.  

2 0 0 0   MR s u b j e c t   Cl a s s i i f c a i t o n :2 0 D1 0  




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