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2012高三数学一轮复习阶段性测试题(1):集合与常用逻辑用语

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阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符号题目要求的。)

1.(文)(2011·巢湖市质检)设 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则下列结论

中正确的是( )

A.A? B

B.A∩B={2}

C.A∪B={1,2,3,4,5}

D.A∩(? UB)={1}

[答案] D

(理)(2011·安徽百校联考)已知集合 M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M 且 a≠b},

则集合 M 与集合 N 的关系是( )

A.M=N

B.M N

C.N M

D.M∩N=?

[答案] C [解析] ∵a、b∈M 且 a≠b,∴a=-1 时,b=0 或 1,x=0 或-1;a=0 时,无论 b 取 何值,都有 x=0;a=1 时,b=-1 或 0,x=-1 或 0.综上知 N={0,-1},∴N M. 2.(2011·合肥质检)“a=1”是“函数 f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)上单调递增”的( )

A.充分必要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案] C [解析] a=1 时,f(x)=lg(x+1)在(0,+∞)上单调递增;若 f(x)=lg(ax+1)在(0, +∞)上单调递增,∵y=lgx 是增函数,∴y=ax+1 在(0,+∞)上单调递增,

∴?????aa>×00+1>0 ,∴a>0,故选 C.

3.(2011·福州期末)已知 p:|x|<2;q:x2-x-2<0,则綈 p 是綈 q 的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案] A
[解析] ∵p:-2<x<2,∴綈 p:x≤-2 或 x≥2; q:-1<x<2,∴綈 q:x≤-1 或 x≥2,
∴綈 p 是綈 q 的充分不必要条件. 4.(2011·福州期末)在△ABC 中,“→AB·→AC=→BA·→BC”是“|A→C|=|→BC|”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

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C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案] C

[解析] 如图,在△ABC 中,过 C 作 CD⊥AB,则|→AD|=|A→C|·cos∠CAB,|B→D|=|→BC|·cos

∠CBA,

→AB·→AC=→BA·→BC?|A→B|·|→AC|·cos∠CAB=|→BA|·|B→C|·cos∠CBA?|A→C|·cos∠CAB=

|B→C|·cos∠CBA?|A→D|=|→BD|?|A→C|=|→BC|,故选 C.

5.(文)(2011·山东日照调研)设α、β是两个不同的平面,l、m 为两条不同的直线,命

题 p:若α∥β,l? α,m? β则 l∥m;命题 q:l∥α,m⊥l,m? β,则α⊥β.则下列命

题为真命题的是( )

A.p 或 q

B.p 且 q

C.綈 p 或 q [答案] C

D.p 且綈 q

[解析] p 为假命题,q 为假命题,故 p 或 q,p 且 q,p 且綈 q 均为假命题,选 C. (理)(2011·辽宁省丹东四校联考)已知α、β、γ为互不重合的三个平面,命题 p:若α

⊥β,β⊥γ,则α∥γ;命题 q:若α上不共线的三点到β的距离相等,则α∥β.对以上

两个命题,下列结论中正确的是( )

A.命题“p 且 q”为真 C.命题“p 或 q”为假 [答案] C

B.命题“p 或綈 q”为假 D.命题“綈 p 且綈 q”为假

[解析] 如图(1),正方体中,相邻三个面满足β⊥α,β⊥γ,但α⊥γ,故 p 为假命

题;如图(2),α∩β=l,直线 AB,CD 是α内与 l 平行且与 l 距离相等的两条直线,则直线

AB,CD 上任意一点到平面β的距离都相等,三点 A、B、C 不共线,且到平面β的距离相等,

故命题 q 为假命题,

∴“p 或 q”为假命题.

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6.(2011·宁夏银川一中检测)下列结论错.误.的.是( ) A.命题“若 p,则 q”与命题“若綈 q,则綈 p”互为逆否命题 B.命题 p:? x∈[0,1],ex≥1,命题 q:? x∈R,x2+x+1<0,则 p∨q 为真
C.“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真命题

D.若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题

[答案] C

[解析] 根据四种命题的构成规律,选项 A 中的结论是正确的;选项 B 中的命题 p 是真

命题,命题 q 是假命题,故 p∨q 为真命题,选项 B 中的结论正确;当 m=0 时,a<b? / am2<bm2,

故选项 C 中的结论不正确;选项 D 中的结论正确.

7.(文)(2011·福州期末)已知集合 M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},

则 M∩N 等于( )

A.(0,1),(1,2)

B.{(0,1),(1,2)}

C.{y|y=1 或 y=2}

D.{y|y≥1}

[答案] D

[解析] 由集合 M、N 的代表元素知 M、N 都是数集,排除 A、B;又 M={y|y≥1},N=R,

∴选 D.

(理)(2011·陕西宝鸡质检)已知集合 A={x|y= 1-x2,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A},

则 A∩B 为( )

A.?

B.{1}

C.[0,+∞)

D.{(0,1)}

[答案] B

[解析] 由 1-x2≥0 得,-1≤x≤1,∵x∈Z,∴A={-1,0,1},当 x∈A 时,y=x2+1

∈{2,1},即 B={1,2},∴A∩B={1}.
8.(2011·天津河西区质检)命题 p:? x∈[0,+∞),(log32)x≤1,则( )
A.p 是假命题,綈 p:? x0∈[0,+∞),(log32)x0>1 B.p 是假命题,綈 p:? x∈[0,+∞),(log32)x≥1 C.p 是真命题,綈 p:? x0∈[0,+∞),(log32)x0>1 D.p 是真命题,綈 p:? x∈[0,+∞),(log32)x≥1 [答案] C

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[解析] ∵0<log32<1,∴y=(log32)x 在[0,+∞)上单调递减,∴0<y≤1,∴p 是真命题; ? 的否定为“? ”,“≤”的否定为“>”,故选 C.
9.(2010·广东湛江模拟)“若 x≠a 且 x≠b,则 x2-(a+b)x+ab≠0”的否命题是( ) A.若 x=a 且 x=b,则 x2-(a+b)x+ab=0. B.若 x=a 或 x=b,则 x2-(a+b)x+ab≠0. C.若 x=a 且 x=b,则 x2-(a+b)x+ab≠0. D.若 x=a 或 x=b,则 x2-(a+b)x+ab=0.

[答案] D

10.(2011·四川资阳市模拟)“cosθ<0 且 tanθ>0”是“θ为第三角限角”的( )

A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] ∵cosθ<0,∴θ为第二或三象限角或终边落在 x 轴负半轴上,∵tanθ>0,∴

θ为第一或三象限角,∴θ为第三象限角,故选 A.

11.(文)(2011·湖南长沙一中月考)设命题 p:? x∈R,|x|≥x;q:? x∈R,1x=0.则下

列判断正确的是( )

A.p 假 q 真

B.p 真 q 假

C.p 真 q 真

D.p 假 q 假

[答案] B

[解析] ∵|x|≥x 对任意 x∈R 都成立,∴p 真,∵1x=0 无解,∴不存在 x∈R,使1x=0,

∴q 假,故选 B.

(理)(2011·福建厦门市期末)下列命题中,假命题是( )

A.? x∈R,2x-1>0 C.? x∈R,x2-x+1>0 [答案] B

B.? x∈R,sinx= 2 D.? x∈N,lgx=2

[解析] 对任意 x∈R,总有|sinx|≤1,∴sinx= 2无解,故选 B. 12.(2011·辽宁大连期末)已知全集 U=R,集合 A={x|x=2n,n∈N}与 B={x|x=2n,n

∈N},则正确表示集合 A、B 关系的韦恩(Venn)图是( )

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[答案] A [解析] n=0 时,20=1∈A,但 1? B,2×0=0∈B,但 0? A,又当 n=1 时,2∈A 且 2∈

B,故选 A.

[点评] 自然数集 N 中含有元素 0 要特别注意,本题极易因忽视 0∈N 导致错选 C.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上)

13.已知命题甲:a+b≠4,命题乙:a≠1 且 b≠3,则命题甲是命题乙的________条件.

[答案] 既不充分也不必要

[解析] 当 a+b≠4 时,可选取 a=1,b=5,故此时 a≠1 且 b≠3 不成立(∵a=1).同

样,a≠1 且 b≠3 时,可选取 a=2,b=2,此时 a+b=4,因此,甲是乙的既不充分也不必要

条件.

[点评] 也可通过逆否法判断非乙是非甲的什么条件.

x2

y2

14.方程4-t+t-1=1

表示曲线

C,给出以下命题:

①曲线 C 不可能为圆;

②若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆;

③若曲线 C 为双曲线,则 t<1 或 t>4;

④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t<52.

其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号).

[答案] ③④

[解析] 显然当 t=52时,曲线为 x2+y2=32,方程表示一个圆;而当 1<t<4,且 t≠52时,

方程表示椭圆;当 t<1 或 t>4 时,方程表示双曲线,而当 1<t<52时,4-t>t-1>0,方程表示

焦点在 x 轴上的椭圆,故选项为③④.

15.(文)函数 f(x)=logax-x+2(a>0 且 a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是________. [答案] a>1

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[解析] 若函数 f(x)=logax-x+2(a>0,且 a≠1)有两个零点,即函数 y=logax 的图象 与直线 y=x-2 有两个交点,结合图象易知,此时 a>1;当 a>1 时,函数 f(x)=logax-x+2(a>0, 且 a≠1)有两个零点,∴函数 f(x)=logax-x+2(a>0,且 a≠1)有两个零点的充要条件是 a>1.

?? 4x+3y-12≥0 (理)(2010·济南模拟)设 p:?3-x≥0
??x+3y≤12

,q:x2+y2>r2(x,y∈R,r>0),若 p

是 q 的充分不必要条件,则 r 的取值范围是________.

[答案] ???0,152???

[解析]

?? 4x+3y-12≥0 设 A={(x,y)|?3-x≥0
??x+3y≤12

},B={(x,y)|x2+y2>r2,x,y∈R,r>0},

则集合 A 表示的区域为图中阴影部分,集合 B 表示以原点为圆心,以 r 为半径的圆的外部,

设原点到直线 4x+3y-12=0 的距离为 d,则 d=|4×0+35×0-12|=152,∵p 是 q 的充分不

必要条件,∴A B,则 0<r<152.

16.(2011·河南豫南九校联考)下列正确结论的序号是________. ①命题? x∈R,x2+x+1>0 的否定是:? x∈R,x2+x+1<0. ②命题“若 ab=0,则 a=0,或 b=0”的否命题是“若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0”. ③已知线性回归方程是y^=3+2x,则当自变量的值为 2 时,因变量的精确值为 7. ④若 a,b∈[0,1],则不等式 a2+b2<14成立的概率是π4 . [答案] ② [解析] ? x∈R,x2+x+1>0 的否定应为? x∈R,x2+x+1≤0,故①错;对于线性回归 方程y^=3+2x,当 x=2 时,y 的估计值为 7,故③错;对于 0≤a≤1,0≤b≤1,满足 a2+b2<14
的概率为 p=14×π1××1???12???2=1π6,故④错,只有②正确.
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
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17.(本小题满分 12 分)(文)(2011·重庆南开中学期末)已知函数 f(x)= xx+ -12的定义 域是集合 A,函数 g(x)=lg[x2-(2a+1)x+a2+a]的定义域是集合 B.
(1)分别求集合 A、B; (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)A={x|x≤-1 或 x>2} B={x|x<a 或 x>a+1}. (2)由 A∪B=B 得 A? B,因此?????aa>+-11≤2 所以-1<a≤1,所以实数 a 的取值范围是(-1,1]. (理)已知函数 f(x)= x+6 1-1的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义 域为集合 B. (1)当 m=3 时,求 A∩(? RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. [解析] 由x+6 1-1≥0 知,0<x+1≤6, ∴-1<x≤5,A={x|-1<x≤5}. (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3} 则? RB={x|x≤-1 或 x≥3} ∴A∩(? RB)={x|3≤x≤5}. (2)A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4}, ∴有-42+2·4+m=0,解得 m=8. 此时 B={x|-2<x<4},符合题意. 18.(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)是 R 上的增函数,a、b∈R,对命题“若 a+b ≥0,则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).” (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. [解析] (1)逆命题是:若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则 a+b≥0,真命题. 用反证法证明: 设 a+b<0,则 a<-b,b<-a, ∵f(x)是 R 上的增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与题设 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾,所以逆命 题为真.
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(2)逆否命题:若 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 则 a+b<0,为真命题. 由于互为逆否命题同真假,故只需证原命题为真. ∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a, 又∵f(x)在 R 上是增函数, ∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a). ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),∴原命题真,故逆否命题为真. (理)(2011·厦门双十中学月考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=2x 相交 于 A、B 两点. (1)求证:“如果直线 l 过点(3,0),那么→OA·→OB=3”是真命题. (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解析] (1)设 l:x=ty+3,代入抛物线 y2=2x,消去 x 得 y2-2ty-6=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=2t,y1·y2=-6, →OA·→OB=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2 =t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2 =-6t2+3t·2t+9-6=3. ∴O→A·O→B=3,故为真命题. (2)(1)中命题的逆命题是:“若→OA·→OB=3,则直线 l 过点(3,0)”它是假命题. 设 l:x=ty+b,代入抛物线 y2=2x,消去 x 得 y2-2ty-2b=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2t,y1·y2=-2b. ∵O→A·O→B=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2 =t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-2bt2+bt·2t+b2-2b=b2-2b, 令 b2-2b=3,得 b=3 或 b=-1, 此时直线 l 过点(3,0)或(-1,0).故逆命题为假命题. 19.(本小题满分 12 分)(文)(2011·华安、连城、永安、漳平龙海,泉港六校联考)已知 集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A? ? RB,求实数 m 的取值范围. [解析] A={x|-1≤x≤3} B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)∵A∩B=[0,3],
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∴?????mm- +22= ≥03 ,?????mm= ≥21 ,∴m=2.

故所求实数 m 的值为 2.

(2)? RB={x|x<m-2 或 x>m+2} A? ? RB,∴m-2>3 或 m+2<-1. ∴m>5 或 m<-3.

因此实数 m 的取值范围是 m>5 或 m<-3.

(理)(2011·山东潍坊模拟)已知全集

U=R,非空集合

A={x|x-

x-2 3a+1

<0},B=

{x|x-x-a2-a 2<0}.

(1)当 a=12时,求(? UB)∩A;

(2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

[解析]

(1)当 a=12时,A={x|xx--522<0}={x|2<x<52},B={x|xx- -9412<0}={x|12<x<94}.

∴(? UB)∩A={x|x≤12或 x≥94}∩{x|2<x<52}

={x|94≤x<52}.

(2)若 q 是 p 的必要条件,即 p? q,可知 A? B, 由 a2+2>a,得 B={x|a<x<a2+2},

当 3a+1>2,即 a>13时,

A={x|2<x<3a+1},

??a≤2 ???a2+2≥3a+1

,解得13<a≤3-2 5;

当 3a+1=2,即 a=13时,

A=? ,符合题意;

当 3a+1<2,即 a<13时,

A={x|3a+1<x<2}.

??a≤3a+1 ???a2+2≥2

,解得-12≤a<13;

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综上,a∈[-12,3-2 5]. 20.(本小题满分 12 分)(2010·常德模拟)已知命题 p:? x∈[1,2],x2-a≥0.命题 q: ? x0∈R,使得 x20+(a-1)x0+1<0.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围. [解析] 由条件知,a≤x2 对? x∈[1,2]成立,∴a≤1; ∵? x0∈R,使 x20+(a-1)x0+1<0 成立, ∴不等式 x2+(a-1)x+1<0 有解,∴Δ=(a-1)2-4>0,∴a>3 或 a<-1; ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p 与 q 一真一假. ①p 真 q 假时,-1≤a≤1; ②p 假 q 真时,a>3. ∴实数 a 的取值范围是 a>3 或-1≤a≤1. 21.(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)=x2-2x+5,若存在一个实数 x0,使不等式 f(x0)-m>0 成立,求实数 m 的取值范围. [解析] 不等式 f(x0)-m>0 可化为 m<f(x0),若存在一个实数 x0 使不等式 m<f(x0)成立, 只需 m<f(x)min. 又∵f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4, ∴f(x)min=4,∴m<4. 故所求实数 m 的取值范围是(-∞,4). (理)(2011·雅安中学期末)设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x) ≥ax 成立,求实数 a 的取值范围. [解析] 令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,则 g′(x)=ln(x+1)+1-a, 令 g′(x)=0,解得 x=ea-1-1. (1)当 a≤1 时,对所有 x>0,g′(x)>0. 所以 g(x)在[0,+∞)上是增函数. 又 g(0)=0,所以对 x≥0,有 g(x)≥g(0), 即当 a≤1 时,对于所有 x≥0,都有 f(x)≥ax. (2)当 a>1 时,对于 0<x<ea-1-1,g′(x)<0, 所以 g(x)在(0,ea-1-1)上是减函数. 又 g(0)=0,所以对 0<x<ea-1-1,有 g(x)<g(0), 即 f(x)<ax. 所以当 a>1 时,不是对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立.综上所述 a 的取值范围是(- ∞,1].
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22.(本小题满分 12 分)若规定 E={a1,a2,…,a10}的子集{ai1,ai2,…,ain}为 E 的第 k 个子集,其中 k=2i1-1+2i2-1+…+2in-1,则
(1){a1,a3}是 E 的第几个子集? (2)求 E 的第 211 个子集. [解析] (1)由 k 的定义可知 k=21-1+23-1=5. 因此{a1,a3}是 E 的第 5 个子集. (2)∵21-1=1,22-1=2,23-1=4,24-1=8,…k=211,且 211=128+64+16+2+1,∴i1=1, i2=2,i3=5,i4=7,i5=8,故 E 的第 211 个子集是{a1,a2,a5,a7,a8}. [点评] 本题是新定义题型,构思新颖,视角独特,亮点明显,对考生在新情境下灵活 运用所学知识分析,解决问题的能力要求较高,有较高的区分度.
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