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2018-2019学年北师大版选修2-1 第二章 空间向量与立体几何 章末优化总结 课件(41张) (1)_图文

第二章

空间向量与立体几何

空间向量复习

空间向量及其运算

空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似, 是平面向量的拓展.从运算的类型,分为线性 (加、减、数乘) 和数量积运算; 从运算形式, 分为向量式运算和坐标运算. 主 要考查空间向量的共线、共面、数量积运算及向量模及夹角 的计算,是运用向量知识求解立体几何问题的基础.

a· a? ? (1)若向量 a 与 b 不共线, a· b≠ 0,且 c= a-? ? b,则 a· b 向量 a 与 c 的夹角为( D ) A. 0 π C. 3 π B. 6 π D. 2

(2)已知四棱柱 ABCDA1 B1 C1 D1 的底面 ABCD 是矩形, AB= 4, AD= 3, AA1= 5,∠ BAA1 =∠ DAA1= 60°,求 AC1 的长.

[解] (1)因为 a, b 不共线, a· b≠ 0, a· a? ? c= a-? ?b, a· b 所以 c≠ 0, a· a? ? ? ? 所以 a· c= a· b? ?a-?a· ? b 2 a ? 2 ? = a -? ? a· b a· b = a2- a2 = 0, 又 a,c 均不是零向量, π 所以〈 a, c〉= . 2

→ → → → (2)由题意可得, AB · AD= 0, AB · AA1 = 4× 5× cos 60°= 10, 15 → → AD·AA1 = 3× 5× cos 60°= . 2 → → → → 因为AC1 =AB +BC +CC1 → → → =AB +AD+AA1 , → → → → 所以 |AC1 |2 = (AB +AD+AA1 )2 → 2 → 2 → 2 → → → → → → = |AB | + |AD| + |AA1 | + 2(AB ·AD+ AB ·AA1 +AD·AA1 ) 15 ? 2 2 2 ? = 4 + 3 + 5 + 2?0+ 10+ ?= 85. 2 所以 AC1 的长为 85.

利用空间向量证明空间中的位置关系

向量作为工具来研究几何,真正把几何的形与代数中的数实 现了有机结合;给立体几何的研究带来了极大的便利,利用 空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系,如线 面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等.

如图,长方体 ABCDA1 B1 C1 D1 中,AB= AA1= 1,BC = 2, M 是 AD 的中点, N 是 B1 C1 的 中点. (1)求证: NA1∥ CM; (2)求证:平面 A1 MCN⊥平面 A1 BD1.

→ → → [证明] 以 D 为原点,DA,DC,DD1 的方向为 x、 y、 z 轴正 方向建立空间直角坐标系(图略 ). 所以 B( 2,1,0),A1 ( 2,0,1),D1(0,0,1),C(0,1,0), 2 2 ? ? ? ? M ? 2 , 0, 0 ?, N? 2 , 1, 1? . → ? 2 ? (1)NA1 = ,- 1, 0 , ?2 ? → ? 2 ? CM = ,- 1, 0 . ?2 ? → → 所以NA1 =CM ,所以 NA1∥ CM.

→ → (2)D1 B= ( 2, 1,- 1),MN = (0, 1, 1), → ? 2 ? CM =? ,- 1, 0? , 2 → → 所以D1 B·MN = 0+ 1- 1= 0, → → D1 B·CM = 1- 1+ 0= 0, 所以 D1 B⊥ MN, D1 B⊥ CM, 又 MN∩ CM= M, 所以 D1 B⊥平面 A1 MCN, 又 D1 B 平面 A1 BD1 , 所以平面 A1 MCN⊥平面 A1 BD1 .

如图,已知在直三棱柱 ABCA1 B1 C1 中, AC⊥ BC, D 为 AB 的中点, AC= BC= BB1.

求证: (1)BC1⊥ AB1; (2)BC1 ∥平面 CA1 D.

[证明] 如图,以 C1 为原点,分别以 C1 A1, C1 B1 , C1 C 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建 立空间直角坐标系.设 AC= BC= BB1= 2, 则 A(2, 0, 2), B(0, 2, 2), C(0, 0, 2), A1 (2, 0, 0), B1 (0, 2, 0), C1(0, 0, 0), D(1, 1, 2). → (1)由于BC1 = (0,- 2,- 2), → AB1 = (- 2, 2,- 2), → → 因此BC1 ·AB1 = 0- 4+ 4= 0, → → 因此BC1 ⊥AB1 ,故 BC1⊥ AB1 .

→ (2)取 A1C 的中点 E,连接 DE,由于 E(1,0,1),所以ED = (0,1, 1), → 又BC1 = (0,- 2,-2), 1→ → 所以ED =- BC1 ,又 ED 和 BC1 不共线,所以 ED∥ BC1, 2 又 DE 平面 CA1D, BC1 平面 CA1D,

故 BC1∥平面 CA1D.

利用空间向量求空间角

1.求异面直线所成的角 设两异面直线的方向向量分别为 n1、 n2, 那么这两条异面直线 所成的角为 θ=〈 n1, n2〉或 θ=π -〈 n1, n2〉 , 所以 cos θ = |cos〈 n1, n2〉 |.

2.求二面角的大小 如图,设平面 α、β 的法向量分别为 n1、 n2 . 因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就 等于平面 α、β 所成的锐二面角 θ,所以 cos θ = |cos 〈 n1, n2〉 |.

3.求斜线与平面所成的角 如图,设平面 α 的法向量为 n1,斜线 OA 的方向向量为 n2, 斜线 OA 与平面所成的角为 θ,则 sin θ = |cos〈n1, n2〉 |.

已知四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD, SA = AB= AD= 2, E 是 SC 的中点. (1)求异面直线 DE 与 AC 所成角; (2)求二面角 BSCD 的大小.

[解 ]

(1)因为 SA⊥ 底面 ABCD ,所 以

SA⊥ AD, SA⊥ AB, 底面 ABCD 是正方形,所以 AB⊥ AD. 以点 A 为坐标原点, AB, AD, AS 所在 的直线分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),S(0, 0, 2), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), E(1, 1, 1) → → → → 所以DE= (1,- 1, 1),AC =(2, 2, 0),DE·AC = 0, 所以异面直线 DE 与 AC 所成角为 90° .

→ → (2)由题意可知,SB=(2, 0,- 2),SC= (2, 2,- 2), 设 平 面 BSC 的 法 向 量 为 n1 = (x1 , y1 , z1 ) , 则 → ? ?n1·SC = x1+ y1- z1= 0, ? → ? ?n1·SB= x1- z1= 0, 令 z1= 1,则 n1= (1, 0, 1), → → DS= (0,- 2, 2),DC=(2, 0, 0),

设平面 SCD 的法向量为 n2=(x2, y2, z2 ), → ? n · DC = x2= 0, ? 2 则? → ? ?n2 ·DS= z2- y2= 0, 令 y2 = 1,则 n2=(0, 1, 1) |n1 ·n2 | 1 设二面角 BSCD 的平面角 α,则 |cos α |= = |n1 ||n2 | 2× 2 1 = . 2 显然二面角 BSCD 的平面角 α 为钝角,所以 α= 120°, 即二面角 BSCD 的大小为 120° .

如图,已知三棱柱 ABCA1 B1 C1 中, 底面 ABC 是等边三角形, 侧棱与底面垂直, 点 E, F 分别为棱 BB1, AC 中点. (1)证明: BF∥平面 A1 CE; (2)若 AA1 = 6, AC= 4,求直线 CE 与平面 A1 EF 所成角的正 弦值.

[解 ]

(1)证明:取 A1C 中点 G,连接 FG, EG, 1 则 FG∥ AA1,且 FG= AA1. 2 1 又由三棱柱的定义及 E 为 BB1 中点可得 EB∥ AA1,且 EB= 2 AA1, 所以 EB∥ FG,且 EB= FG, 所以四边形 BFGE 为平行四边形,所以 BF∥ EG. 而 BF 平面 A1CE, EG 所以 BF∥平面 A1CE. 平面 A1CE,

(2)如图, 以 A 为原点, AB 的垂线, AB 及 AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴, z 轴建立空间直 角坐标系. → → 则A1 E= (0, 4,- 3),A1 F=( 3, 1,- 6). 设平面 A1 EF 的一个法向量为 n=(x, y, z), → ? A1 E = 0, ?4y- 3z= 0, ?n · 由条件可得? 即? → ? 3x+ y- 6z= 0, ? ?n · A1 F= 0, 令 y=3 可得 n= (7 3, 3, 4), 设直线 CE 与平面 A1 EF 所成角为 θ, → | CE · n| 12 43 → 则 sin θ = |cos(n,CE )|= = . → 215 |CE ||n|

利用空间向量求空间距离
(1)点到直线的距离的向量求法 先求直线的方向向量, 再在直线上任取一点, 与原来点构成向 →2 → n 2 量,利用公式 d= |PA| - |PA· | 计算. |n| (2)点到平面的距离的向量求法 先求出平面的法向量,再在平面内任取一点,与原来点构成 向量,此向量在法向量上的投影的绝对值,就是点到平面的 → n 距离,即 d= |PA· |. |n|

在四棱锥 OABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方 形, OA⊥底面 ABCD, OA= 2, M, N, R 分别为 OA, BC, AD 的中点.求直线 MN 与平面 OCD 的距离,平面 MNR 与 平面 OCD 的距离.

[解]

因为 M,R 分别为 AO, AD 的中点,所以 MR∥ OD.

在正方形 ABCD 中, N, R 分别为 BC, AD 的中点, 所以 NR∥ CD. 又 MR∩ NR= R, 所以平面 MNR∥平面 OCD. 又 MN 平面 MNR,所以 MN∥平面 OCD.

所以直线 MN 与平面 OCD 的距离,平面 MNR 与平面 OCD 的距离都等于点 N 到平面 OCD 的距离.

以点 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则 O(0, 0, 2), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), N(2, 1, 0). → → → 所以NC= (0, 1, 0),OD=(0, 2,- 2),CD= (- 2, 0, 0).

设平面 OCD 的法向量为 n= (x, y, z), → ? OD= 2y- 2z= 0, ?n · 则? → ? ?n · CD=- 2x= 0, 令 z= 1,得 n=(0, 1, 1). 2 → n 所以点 N 到平面 OCD 的距离 d= |NC· |= . |n| 2 所以直线 MN 与平面 OCD 的距离,平面 MNR 与平面 OCD 2 的距离都等于 . 2

1.如图所示,正方体 ABCDA1 B1 C1 D1 中,E,F 分别在 A1 D, 2 1 AC 上,且 A1 E= A1 D, AF= AC,则 ( B ) 3 3

A. EF 至多与 A1 D, AC 之一垂直 B. EF⊥ A1 D, EF⊥ AC C. EF 与 BD1 相交 D. EF 与 BD1 异面

解析:建立如图坐标系, → 设 |AD|= 1,则 A(1, 0, 0), C(0, 1, 0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1, → → 0),D1(0,0,1), AC = (- 1,1,0), A1 D → 2→ → = (- 1,0,- 1),由A1 E= A1 D,AF = 3 1→ AC , 3 1 1 2 1 得 E( , 0, ), F( , , 0), 3 3 3 3 1 1 1 → → → → → EF = ( , ,- ),EF ·A1 D= 0,EF ·AC = 0,故 EF⊥ A1 D, 3 3 3 1→ → EF⊥ AC,由EF =- BD1 得 EF∥ BD1 . 3

2.已知 a=(2,- 1, 2), b= (2, 2, 1),则以 a, b 为邻边的 平行四边形的面积是( A ) A. 65 C. 4 65 B. 2 D. 8

a· b 4 65 解析: cos〈 a, b〉= = ,故 sin〈 a, b〉= , |a||b| 9 9 因此以 a, b 为邻边的平行四边形的面积为 |a||b|sin 〈 a, b〉 = 65.

3. ABCD 为正方形,P 为平面 ABCD 外一点, PD⊥ AD, PD = AD= 2, 二面角 P ADC 的大小为 60°, 则 P 到 AB 的距离 是( D ) A. 2 2 C. 2 B. 3 D. 7

解析:建立如图坐标系, → A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,1, 3), AB → = (0, 2, 0),AP =(- 2, 1, 3), → → AP ·AB → → AP 在AB 上的投影为 = 1, → |AB | → → ?2 ? AP· AB →2 故 P 到 AB 的距离为 |AP | -? ? = 7. → ? ? |AB |

4.如图,在正方体 ABCDA1 B1 C1 D1 中, M, N 分别是 CD, CC1 的中点,则异面直线 A1 M 与 DN 所成的角的大小是 π ________ . 2

解析:建立如图所示的空间直角坐标 → 系,令 |AB |= 2, 则 D(0,0,0),C(0,2,0),M(0,1, 0), A1(2, 0, 2), C1 (0, 2, 2), N(0, 2, 1), → A1 M= (- 2, 1,- 2), → DN= (0, 2, 1), → → 因为A1 M·DN= 0, → → 所以A1 M⊥DN, π 即异面直线 A1 M 与 DN 所成的角为 . 2

5.已知正三棱锥 PABC 的底面是边长为 3 的正三角形 ABC, → 1 PA 与平面 ABC 所成角为 60°,且 PA= 2. 若点 Q 满足PQ= 4 9 → → → 16 (PA+PB+PC),则三棱锥 QABC 的体积为 ________ .

4→ → 1 → → → 解析: 设 O 为△ ABC 的重心, 则PO= (PA+PB+PC)= PQ, 3 3 1 故 P、 Q、 O 三点共线.因此 VQ? ABC= V P? ABC, 4 1 1 3 9 2 = × × × 3 × 2×sin 60°= . 4 3 4 16

6. 在直四棱柱 ABCDA1 B1 C1 D1 中,底面为 直角梯形,AB∥ CD 且∠ ADC= 90°,AD = 1,CD= 3,BC= 2,AA1= 2,E 是 CC1

2 的中点,则 A1 B1 到平面 ABE 的距离是 ________ .

解析: 取 DD1 的中点 F, 连接 EF、AF, 则 EF∥ CD∥ AB,A、 B、 E、 F 四点共面,又 A1 B1∥平面 ABEF, 所以 A1 B1 到平面 ABE 的距离等于 A1 到平面 ABEF 的距离. 法一:在矩形 ADD1 A1 中,因为 AA1= 2, AD= 1, 所以 A1 F⊥ AF,又平面 ADD1 A1⊥平面 ABEF, 所以 A1 F⊥平面 ABEF,所以 A1 F= 2.

法二:建立如图所示的空间直角坐标 系,则 D(0,0,0),A(1,0,0),A1( 1, 0, 2), E(0, 3, 1), F(0, 0, 1). → → 所以A1 F= (- 1, 0,- 1),AF = (- 1, → 0, 1),FE = (0, 3, 0), → → → → 又A1 F·AF = 0,A1 F·FE = 0, → → 所以A1 F= (- 1,0,- 1)为平面 ABEF 的一个法向量,A1 A= (0, 0,- 2), → → |A1 F· A1 A| 2 所以 A1 到平面 ABEF 的距离为 = = 2. → 2 |A1 F|

本部分内容讲解结束
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