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安徽省马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测数学理试题-Word版内含答案(2013高考)

安徽省马鞍山市 2013 届高三第三次教学质量检测数学理试题-Word 版内含答案(2013 高考)

马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测

理科数学参考答案

一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.

(1)设集合 A ? {x | x2 ? 4 ? 0} , B ? {x | 2x ? 1} ,则 A B ?

(A){x | x ? 2}

(B){x | x ? ?2}

{x | x ? 1}

(C)

2

(D){x | x ? ?2或x ? 2}

【答案】选(B).

【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算,容易题.

(2)已知复数 z ? (a2 ?1) ? (a ? 2)i (a ? R) ,则“ a ?1 ”是“ z 为纯虚数”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不

必要条件 【答案】选(A). 【命题意图】本题考查复数的概念及充要条件,容易题. (3)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,? 2 ) ,且 P(X ? 5) ? 0.8 ,则 P(1 ? X ? 3) ?

(A) 0.6

(B) 0.4

(C) 0.3

【答案】选(C).

【命题意图】本题考查正态分布知识,容易题.

(D) 0.2

(4)下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为

(A) y ? cos2 x ? sin2 x

(B) y ? lg | x |

ex ? e?x

y?

(C)

2

(D) y ? x3

【答案】选(B).

【命题意图】本题考查函数的奇偶性与单调性,容易题.

2? sin(? ? ? ) ?

(5)在极坐标系中,直线

4

2 与圆 ? ? 2cos? 的位置关系是

(A)相交

(B)相切

(C)相离

(D)无法确定

【答案】选(C).化成普通方程,易判断.

【命题意图】本题考查极坐标方程及直线与圆的位置关系,容易题.

(6)右图是一个几何体的三视

图,其中正视图和侧视图

都是一个两底长分别为 2

和 4 ,腰长为 4 的等腰梯

形,则该几何体的表面积



(A)12?

13?

(C)15?

17?

【答案】(D)

(B) (D)

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【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体表面积的计算,考查空间想象能力,容易题. x2 y2
(7)已知 F1, F2 是双曲线 a2 ? b2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正 △MF1F2 ,若 边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是

(A) 4 ? 2 3

(B) 3 ?1

3 ?1 (C) 2

(D) 3 ?1

【答案】(D) 【命题意图】本题考查双曲线的性质,中等题.

(8)从 0,8 中任取一数,从 3,5,7 中任取两个数字组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数



(A) 24

(B)18

(C)12

【答案】(B)

【命题意图】本题考查排列组合的知识,中等题.

(D) 6

(9)数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1, an?1 ? 4Sn (n ? N*) ,则 a6 ?

(A) 4?54

(B) 4?54 ?1

(C) 55

【答案】(A) 【命题意图】本题考查递推数列通项公式的求法,中等题.

(D) 55 ?1

f (x) ? 1? x ? x2 ? x3 ? x4 ? ??? ? x2013

(10)已知函数

234

2013 ,则下列结论正确的是

(A) f (x) 在 (0,1) 上恰有一个零点

(B) f (x) 在 (0,1) 上恰有两个零点

(C) f (x) 在 (1, 2) 上恰有一个零点

(D) f (x) 在 (1, 2) 上恰有两个零点

【答案】(D) 【命题意图】本题考查导数的应用,考查函数零点的知识,较难题.

二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.

(x2 ? 1)n (11)若 x 展开式中的所有二项式系数和为 512 ,则该展开式中的常数项为 ▲ . 【答案】 84 .

【命题意图】本题考查二项式定理的基础知识,容易题.

(12)设平面区域 D

是由双曲线

y2

?

x2 4

?1 的两条渐近线和抛物线

y2

?

?8x

的准线所围成的三

角形(含边界与内部).若点 (x, y) ? D ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值为 ▲ .

【答案】 3 . 【命题意图】本题考查双曲线和抛物线的基础知识,考查线性规划,容易题.

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安徽省马鞍山市 2013 届高三第三次教学质量检测数学理试题-Word 版内含答案(2013 高考) (13)执行下边的程序框图,输出的 T ? ▲ .

【答案】29. 【命题意图】本题考查程序框图,容易题.
5? (14) △ABC 中,向量 AB 与 BC 的夹角为 6 , | AC |? 2 ,则 | AB | 的取值范围是 ▲ .
【答案】 (0, 4] .

【命题意图】本题考查向量及三角函数的综合运用,较难题.

(15)如图,设 A 是棱长为 a 的正方体的一个顶点,过从顶点 A

出发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如

此操作,截去 8 个三棱锥,所得的各截面与正方体各面共

同围成一个多面体,则关于此多面体有以下结论:

① 有12 个顶点;

② 有 24 条棱;



有12 个面; ④ 表面积为 3a2 ;

5 a3 ⑤ 体积为 6 .

其中正确的结论是 ▲ (写出所有正确结论的编号).

【答案】①②⑤. 【命题意图】本题考查空间想象能力,较难题.

三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(16)(本小题满分12分)
? 已知函数 f (x) ? 3 sin ?x ? cos?x ? cos2 ?x(? ? 0) 的最小正周期为 2 .

(Ⅰ)求 f (x) 的解析式;

(Ⅱ)设 △ABC 的三边 a,b,c 满足 b2 ? ac ,且边 b 所对的角为 x ,求此时函数 f (x) 的值域. 【命题意图】本题考查三角函数、解三角形、基本不等式的基础知识,中等题.

f (x) ? 3 sin 2?x ? 1 cos 2?x ? 1 ? sin(2?x ? ? ) ? 1

【答案】(Ⅰ)

2

2

2

6 2,

T ? 2? ? ? 由题, 2? 2 及 ? ? 0 ,得: ? ? 2 ,

……4分

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f (x) ? sin(4x ? ? ) ? 1

所以

6 2.

……6分

a2 ? c2 ? b2 2ac ? ac 1

?

cos x ?

?

?

x ?(0, ]

(Ⅱ)由

2ac

2ac 2 ,知:

3,

……9分

从而

4x

-

p 6

? (-

p 6

,

7p] 6 ,所以函数

f

(x)

[?1, 的值域为

1] 2.

(17)(本小题满分12分)

…12分

甲、乙等 6 名同学参加某高校的自主招生面试,已知采用抽签的方式随机确定各考生的面

试顺序(序号为1, 2, ,6 ).

(Ⅰ)求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率; (Ⅱ)记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为 ,求随机变量? 的分布列与期望.

【命题意图】本题考查概率知识,分布列和期望的求法,考查学生应用知识解决问题的能力,

中等题.

【答案】(Ⅰ)只考虑甲、乙两考生的相对位置,用组合计算基本事件数;

设A表示“甲、乙的面试序号至少有一个为奇数”,则 A 表示“甲、乙的序号均为偶数”,

由等可能性事件的概率计算公式得:

P(A) ? 1? P( A) ? 1?

A32 A44 A66

?

4 5

4 甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率是 5 . ………………6分

P( A) ? A32 A44 ? 2 A31 A31 A44 ? 4

(另解

A66

A66

5)

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值是0,1,2,3,4,

P(? ? 0) ? 5 ? 1 P(? ? 1) ? 4 ? 4 P(? ? 2) ? 3 ? 1 P(? ? 3) ? 2 ? 2 P(? ? 4) ? 1 ? 1



C62 3 ,

C62 15 ,

C62 5 ,

C62 15 ,

C62 15

P(? ? 0) ? A22 A55 ? 1

P(? ? 1) ? A22 A41 A44 ? 4

P(? ? 2) ? A22 A42 A33 ? 1

[另解:

A66 3 ,

A66

15 ,

A66

5,

P(? ? 3) ? A22 A43 A22 ? 2 P(? ? 3) ? A22 A44 ? 1

A66

15 ,

A66 15 ]………………………………………………10分

所以随机变量 X 的分布列是:

?0 1 2 3 4 1412 1
P
3 15 5 15 15

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E? ? 0? 1 ?1? 4 ? 2? 1 ? 3? 2 ? 4? 1 ? 4

所以

3 15 5 15 15 3

4

即甲、乙两考生之间的面试考生个数 X 的期望值是 3 . ………………12分

(18)(本小题满分12分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,AB ? 平面 BCE ,DC ? 平面 BCE ,AB ? BC ? CE ? 2CD ? 2 ,
?BCE ? 2? 3.
(Ⅰ)求证:平面 ADE ? 平面 ABE ;
(Ⅱ)求二面角 A ? EB ? D 的大小.

【命题意图】本题考查空间位置关系、二面角 等有关知识,考查空间想象能力,中等题.
【答案】(Ⅰ)证明:取BE的中点O,AE的中点F,连OC,OF,DF,则2OF / / BA
∵AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,∴2CD / / BA,
∴OF / / CD,∴OC∥FD ∵BC=CE,∴OC⊥BE,又AB⊥平面BCE.
∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE. 从而平面ADE⊥平面ABE. ………………6分 (Ⅱ)二面角A—EB—D与二面角F—EB—D相等, 由(Ⅰ)知二面角F—EB—D的平面角为∠FOD。
BC=CE=2, ∠BCE=1200,OC⊥BE得BO=OE= 3 , OC=1,
∴OFDC为正方形,∴∠FOD= 45? , ∴二面角A—EB—D的大小为 45? . ……………………12分 解法2:取BE的中点O,连OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE,又AB⊥平面BCE.
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以O为原点建立如图空间直角坐标系O-xyz,
? ? ? ? ? ? 则由已知条件有: A 0, 3,2 , B 0, 3,0 , C ?1,0,0?, D?1,0,1?, E 0,? 3,0 ,
设平面ADE的法向量为 n ? ? x1, y1, z1 ? ,
? ? 则由 n ·EA ? ? x1, y1, z1 ? ? 0, 2 3, 2 ? 2 3y1 ? 2z1 ? 0. ? ? 及 n ·DA ? x1, y1, z1 ?? ?1, 3,1 ? ?x1 ? 3y1 ? z1 ? 0. ? ? 可取 n ? 0,1, ? 3
又AB⊥平面BCE,∴AB⊥OC,OC⊥平面ABE,
∴平面ABE的法向量可取为 m = ?1, 0, 0? .
? ? ∵ n ·m ? 0,1, ? 3 ·?1,0,0? =0, ∴ n ⊥ m ,∴平面ADE⊥平面
ABE.…… 6分
(Ⅱ)设平面BDE的法向量为 p ? ? x2 , y2 , z2 ? ,
? ? 则由 p ·ED ? ? x2 , y2 , z2 ?? 1, 3,1 ? x2 ? 3y2 ? z2 ? 0. ? ? 及 p ·EB ? ? x2, y2, z2 ?? 0, 2 3,0 ? 2 3y2 ? 0. 可取 p ? ?1, 0, ?1?
∵平面ABE的法向量可取为 m = ?1, 0, 0?

|m? p| 2 ∴锐二面角A—EB—D的余弦值为 | m | ? | p | = 2 ,

∴二面角A—EB—D的大小为 45 .

……………………………12分

(19)(本小题满分12分) 数列{an}满足 a1 ? 3 , an?1 ? an ? 2n ? 5 .
(Ⅰ)求 a2 、 a3 、 a4 ; (Ⅱ)求 an 的表达式; (Ⅲ)令 Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ? a2n?1a2n ? a2na2n?1 ,求 Tn .
【命题意图】本题考查归纳推理、数学归纳法、数列求和等知识,考查推理论证、运算求解
能力,中等题. 【答案】(Ⅰ)由递推公式: a2 ? 4 、 a3 ? 5 、 a4 ? 6 ,
……3分 (Ⅱ)方法一:猜想: an ? n ? 2 ,下面用数学归纳法证明:

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① a1 ? 3 ,猜想成立; ② 假设 n ? k(k ? N*) 时, ak ? k ? 2 , 则 ak?1 ? ?ak ? 2k ? 5 ? ?(k ? 2) ? 2k ? 5 ? (k ?1) ? 2 ,即 n ? k ?1时猜想成立, 综合①②,由数学归纳法原理知: an ? n ? 2(n ? N*) .

……8分









an?1 ?[(n ?1) ? 2] ? ?[an ? (n ? 2)] ? an?1 ?[(n ?1) ? 2] ? 所以: an ? n ? 2(n ? N*) .



an?1 ? an ? 2n ? 5

? (?1)n[a1 ? (1? 2)] ? 0 ,

……8分 方法三:由 an?1 ? an ? 2n ? 5 得: an?2 ? an?1 ? 2n ? 7 ,两式作差得: an?2 ? an ? 2 , 于是 a1, a3, a5, 是首项 a1 ? 3 ,公差为 2 的等差数列,那么 a2k?1 ? 2k ?1(k ? N*) , 且 a2 , a4 , a6 , 是首项 a2 ? 4 ,公差为 2 的等差数列,那么 a2k ? 2k ? 2(k ? N*) , 综上可知: an ? n ? 2(n ? N*) .

……8分 (Ⅲ) Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ? a2n?1a2n ? a2na2n?1
? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ? a2n (a2n?1 ? a2n?1) ? ?2(a2 ? a4 ?

? a2n )



? ?2 ? n(a2 ? a2n ) 2

? ?n(4 ? 2n ? 2) ? ?2n2 ? 6n .




… 10 … 12

(20)(本小题满分13分) 已知函数 f (x) ? x2 ? (2a ?1)x ? a ln x .
(Ⅰ)当 a ?1时,求函数 f (x) 的单调增区间;
(Ⅱ)求函数 f (x) 在区间[1, e] 上的最小值. 【命题意图】本题考查导数的应用,分类讨论思想,考查运算求解能力、逻辑思维能力和分 析问题解决问题的能力,中等题. 【答案】(Ⅰ)当a=1时,f(x)=x2-3x+lnx,定义域为(0,+∞).

1 2x2 ? 3x ?1 (2x ?1)(x ?1)

f′(x)=2x-3+ x = x =

x



1
令f′(x)=0,得x=1,或x= 2 .………………………………………………………………… 3分

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1 所以函数f(x)的单调增区间为(0,2 )和(1,+∞).………………………………………… 6分

a 2x2 ? (2a ?1)x ? a (2x ?1)(x ? a)

(Ⅱ)f′(x)=2x-(2a+1)+ x =

x



x



1

令f′(x)=0,得x=a,或x= 2 . …………………………………………………………^…… 7分

当a≤1时,不论

a

?

1 2

还是

1 2

?

a

?

1 ,在区间[1, e]

上,

f

(x)

均为增函数。





[f(x)]min



f(1)





2a;…………………………………………………………………………8分

当1<a<e时,





[f(x)]min



f(a)



a(lna



a



1);…………………………………………………………………10分

当a≥e时,

所 以 [f(x)]min = f(e)

= e2 - (2a + 1)

a.……………………………………………………………12分

??2a, a ? 1

[ f (x)]min ? ??a(ln a ? a ?1),1 ? a ? e

综上,

??e2 ? (2a ?1)e ? a, a ? e .

……………………………13分

e+

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(21)(本小题满分14分)

已知

C: A, B 分别是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0)

D(1, 3 )

的左、右顶点,点 2 在椭圆 C

上,且直

b2 ? 线 DA 与直线 DB 的斜率之积为 4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,已知 P,Q 是椭圆 C 上不同于顶点的两点,直线 AP 与 QB 交于点 M ,直线 PB 与 AQ 交于点 N .① 求证: MN ? AB ;② 若弦 PQ 过椭圆的右焦点 F2 ,求直线 MN 的方程.

【命题意图】本题考查直线与椭圆的方程等相关知识,考查运算求解能力以及分析问题、解 决问题的能力,较难题.

【答案】(Ⅰ)由题,

A(?a,

0),

B(a,

0)

,由点

D(1,

3 2

)

在椭圆

C

上知

a

>

1

,则有:

kDA ? kDB

33 ? 2?2
1? a 1?a

b2 ??
4

? b2

?

9

12

a2 ?1 ,又 a2

?

( 3 )2 2 b2

?1 ,

x2 y2 C: ? ?1 以上两式可解得 a2 ? 4 , b2 ? 3 .所以椭圆 4 3 .

……4分

y ? y1 (x ? 2)

y ? y2 (x ? 2)

(Ⅱ)① 设 P(x1, y1),Q(x2 , y2 ) ,则直线 AP : x1 ? 2

、直线 QB : x2 ? 2







x1

?

x2

?

8k 2 3 ? 4k 2



x1 x2

?

4k2 ?12 3 ? 4k2

? ? 代入上式得: ?

xM xM

? 2 ?2

?

2

? ?

?

9



解得 xM ? 4 ,由①知 xM ? xN ? 4 .

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综合(ⅰ) (ⅱ), xM ? xN ? 4 ,故直线 MN : x ? 4 .



14分

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