当前位置: 首页 > >

11-12学年高中数学第二章推理与证明综合检测新人教A版选修2-2

------WORD 格式-----可编辑-------

第二章 推理与证明综合检测
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题 ( 本大题共 12 个小题,每小题 只有一项是符合题目要求的 )

5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,

1.锐角三角形的面积等于底乘高的一半; 直角三角形的面积等于底乘高的一半; 钝角三角形的面积等于底乘高的一半; 所以,凡是三角形的面积都等于底乘高的一半. 以上推理运用的推理规则是 A.三段论推理 B.假言推理 C.关系推理 D.完全归纳推理
[ 答案 ] [ 解析 ]

(

)

D
所有三角形按角分,只有锐角三角形、

Rt 三角形和钝角三角形三种情形,上述

推理穷尽了所有的可能情形,故为完全归纳推理. 2.数列 1,3,6,10,15 ,?的递推公式可能是 ( )

a1= 1,

A. B.

an+ 1= an+n( n∈
N ) a1= 1,
*

an= an- 1+n( n∈ N* , n≥2) a 1 = 1,
n
+1

C.

= n+(

- 1)(

∈ N* )

a
a = 1,
1

a

n

n

D.

n

n- 1

*

a=a
[ 答案 ] [ 解析 ]

+( n- 1)( n∈ N , n≥2) B 记数列为 { a } ,由已知观察规律: a2 比 a1 多 2, a3 比 a2 多 3, a4 比 a3 多 4,?,
n

可知当 n≥2 时, an 比 an-1

多 n,可得递推关系

a1 = 1 , a-a
n n- 1

=n

( n≥2, n∈ N* ) . 整数是有理数, 则整数是真分数”,

3.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数, 结论显然是错误的,因为 ( ) 第-1页 共 11



---

------WORD 格式-----可编辑-------

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.不是以上错误 [ 答案 ] [ 解析 ] C 大小前提都正确,其推理形式错误.故应选 C.

4.用数学归纳法证明等式 左边应取的项是 ( A.1 B.1+ 2 C.1+ 2+ 3 D.1+ 2+ 3+ 4 [ 答案 ] [ 解析 ] D )

1+2+ 3+?+ ( n+ 3) = ( n+ 3)( n+4) ( n∈N* ) 时,验证 n= 1, 2

当 n= 1 时,左= 1+ 2+?+ (1 + 3) = 1+2+?+ 4,故应选 D.

5.在 R 上定义运算 ?:x?y= x(1 - y) .若不等式 ( x- a) ?( x+a) < 1 对任意实数 x 都成立, 则( ) A.- 1< a<1 B.0< a< 2
1 3

C.- 2< a<2
D.- < a<

3 2

1 2

[ 答案 ] [ 解析 ]

C 类比题目所给运算的形式, 得到不等式 ( x- a) ?( x+a)<1 的简化形式, 再求其恒

成立时 a 的取值范围. ( x- a) ?( x+a)<1 ? ( x- a)(1 - x- a)<1 即 x -x- a + a+ 1>0
2 2

不等式恒成立的充要条件是 = 1- 4( -a2+ a+ 1)<0 即 4a2- 4a- 3<0 1 3

解得- 2<a<2. 故应选 C. 1 6.已知 ( ) = + 1 +

1

+?+

1
2

,则 ()

f n

n

n+1

n+ 2
第-2-

n
页 共 11 页

---

------WORD 格式-----可编辑-------

1 1 A.f ( n) 中共有 n 项,当 n= 2 时, f (2) =2+ 3

1

1

1

B.f ( n) 中共有 n+ 1 项,当 n=2 时, f (2) = 2+ 3+
C.f ( n) 中共有 n - n 项,当 n=2
2

4

时, f (2)

= +

1 1 2 3

1 1 1 + + D.f ( n) 中共有 n - n+ 1 项,当 n= 2 时, f (2) = 2 3 4
2

[ 答案 ] [ 解析 ] 7.已知

D 项数为 n - ( n-1) = n -n+ 1,故应选 D. + + = 0,则 + + 的值 ()
2 2

a
A.大于 0 B.小于 0 C.不小于 0 D.不大于 0 [ 答案 ] [ 解析 ]
2 2

b

c

ab

bc

ca

D
解法 1:∵ a+ b+ c= 0,
2

∴ a +b + c + 2ab+ 2ac+ 2bc= 0,
∴ab+ ac+bc=-

a2 + b2 + c 2
2

≤ 0.

解法 2:令 c= 0,若 b= 0,则 ab+ bc+ac= 0,否则 a、 b 异号,∴ ab+ bc+ac= ab< 0, 排除 A、B、 C,选 D. 8.已知 c>1, a= A.a> b B. <

c + 1 - c , b=

c- c- 1,则正确的结论是 (

)

a b C.a= b
D.a、 b 大小不定 [ 答案 ] [ 解析 ] B
a= c + 1- c =

1



c+ 1+ c b= c - c - 1 = c+ 1> c>0, c> c+ 1+ c>
1 ,

c+ c- 1
因为 所以

c- 1>0,

c+ c- 1>0,所以 a<b. f ( k+1)( k≥3 且 k∈ N* ) 等于

9.若凸 k 边形的内角和为 f ( k) ,则凸 ( k+ 1) 边形的内角和 第-3页 共 11 页

---

------WORD 格式-----可编辑-------

(

) π A.f ( k) + 2 B.f ( k) + π 3
C.f ( k) + 2π

D.f ( k) + 2π [ 答案 ] [ 解析 ] 10.若 B 由凸 k 边形到凸 ( k+ 1) 边形,增加了一个三角形,故 sin A


f ( k+1) = f ( k) + π .

cos B cos C


,则△
ABC

是 ()

a
A.等边三角形 B.有一个内角是

b

c

30°的直角三角形

C.等腰直角三角形 D.有一个内角是 30°的等腰三角形 [ 答案 ] C sin A cos B cos C ,由正弦定理得, cos B cos C sin C

[ 解析 ] ∵ a = sin A sin B sin C

b
b

= c sin B


a



b



c

,∴

b



c



c



∴ sin B= cosB, sin C= cos C,∴∠ B=∠ C=45°, ∴△ ABC 是等腰直角三角形.
a+ b

11.若 > 0, > 0,则 = (

)

与 =
2

b

·

a

的大小关系是 ()

ab
A.p≥ q B.p≤ q C.p> q D.p< q [ 答案 ]
A

p

ab

q a

b

a

p

若 a> b,则 b> 1, a-b> 0,∴ q> 1; 第-4页 共 11 页

---

------WORD 格式-----可编辑-------

a

p

若 0< a< b,则 0< b< 1, a- b< 0,∴ q> 1;

p
若 a= b,则 q= 1,

∴p≥ q. 12.设函数 f ( x) 定义如下表,数列 则x =( )
2011

{ xn} 满足 x0= 5,且对任意的自然数均有

xn+1= f ( xn) ,

x f ( x)
A.1 B.2 C.4 D.5 [ 答案 ] C

1 4

2 1

3 3

4 5

5 2

[ 解析 ] x1= f ( x0) = f (5) = 2, x = f (2) = 1,x = f (1) = 4,x = f (4) = 5,x = f (5) = 2,?,数列 { x } 是周期为 4 的数列,
2 3 4 5 n

所以 x2011= x3= 4,故应选 C. 二、填空题 ( 本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上)

13.半径为 r 的圆的面积 S( r ) = π r 2,周长 C( r ) =2π r ,若将 r 看作 (0 ,+∞ ) 上的变量, 则 ( π r 2 ) ′= 2π r . ① ①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为

R 的球,若

将 R 看作 (0 ,+∞ ) 上的变量,请你写出类似于①式的式子: ______________________________ , 你所写的式子可用语言叙述为 [ 答案 ] 14.已知 = ________. 1 [ 答案 ] 1 1 4 3
3

__________________________ .
2

π R ′= 4πR;球的体积函数的导数等于球的表面积函数.

( ) = 1+ + +?+

1 1

1
n

( ∈ N* ) ,用数学归纳法证明

n

f (2 )> 时, f (2

n

n
2

k+ 1

) - f (2

k

)

f n

2 3

2k + 1+ 2k+ 2+?+ 2k+ 1
k +1

1 1

1

[ 解析 ]
k

f (2
1 1

) = 1+ 2+ 3+?+ 2k +1 1

f (2 ) = 1+ 2+3+?+ 2k f (2
k+1

) - f (2

k

)=

1 +k 2+1 2+2
k

1

+?+

1
k+ 1.

2 第-5页 共 11 页

---

------WORD 格式-----可编辑-------

2

2

3



15.观察① sin 10°+ cos 40°+ sin10 °cos40°= 4
2 2

3

②si n 6°+ cos 36°+ sin6 °cos36°= ________________ . [ 答案 ] [ 解析 ]

4. 两式的结构特点可提出一个猜想的等式为

sin 2 α + cos 2(30 °+ α ) +sin α cos(30 °+ α ) = 3 4 观察 40°- 10°= 30°, 36°- 6°= 30°,

由此猜想:
sin α + cos
2 2

(30 °+ α ) + sin α cos(30

°+ α ) = .

3 4

可以证明此结论是正确的,证明如下: sin 2α + cos 2(30 °+ α ) + sin α ·cos(30 °+ α ) 1- cos2 α = 2 + 1 1+ cos( 60°+ 2α ) 2 1 1 1

+ 2[sin(30 °+ 2α ) -sin30 °] = 1 + 2 [cos(60 °+

2α ) -cos2 α ] +2sin(30 °+ 2α ) -2 1 1 1 = 1+ 2[ -2sin(30 °+ 2α )sin30 °] + 2sin(30 °+ 2α ) -2 3 4
= - si n(30 °+ 2α ) + sin(30

1 2

1 2

°+ 2α ) = .

3 4

a
16.设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 ∈ P( 除数 b≠0) ,则称 P 是一个数域.例如有理数集 也是数域.有下列命题: ①整数集是数域; ②若有理数集 Q? M,则数集 M 必为数域; ③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域. 其中正确命题的序号是 [ 答案 ] ③④ [ 解析 ]
考查阅读理解、分析等学习能力.

a、 b∈P,都有 a+ b、 a- b、 ab、b
Q 是数域;数集

F={ a+ b 2| a, b∈ Q}

________. ( 把你认为正确命题的序号都填上

)

a
①整数 a= 2, b= 4,b 不是整数; ②如将有理数集

Q,添上元素

2,得到数集 M,则取 a= 3, b= 2, a+ b?M;

③由数域 P 的定义知,若

a∈ P, b∈ P( P 中至少含有两个元素 ) ,则有 a+ b∈P,从而 a+
第-6页 共 11 页

---

------WORD 格式-----可编辑-------

2b, a+3b,?, a+ nb∈ P,∴ P 中必含有无穷多个元素,∴③对. ④设 x 是一个非完全平方正整数 必是数域,这样的数域 ( x>1) ,a,b∈ Q,则由数域定义知, F= { a+ b

x| a、b∈ Q}

F 有无穷多个.
)

三、解答题 ( 本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. ( 本题满分 12 分 ) 已知: a、b、 c∈ R,且 a+ b+ c= 1.
2 2 2

1

求证: a + b + c ≥ 3. [ 证明 ] 由 a2+b2≥2ab,及 b2+ c2≥2bc, c2+ a2≥2ca.

三式相加得 a2+b2+ c2≥ ab+ bc+ ca. ∴ 3( a2+ b2+ c2) ≥(a2+ b2+ c2) +2( ab+ bc+ ca) = ( a+ b+ c) 2. 由 a+ b+ c=1,得 3( a + b + c ) ≥1,
2 2 2
即a
2

+b +

2

c≥ .

2

1 3

18. ( 本题满分 12 分 ) 证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论. π 2cos 4 = 2, π 2cos 8 = π 2cos16= ?? π [ 证明 ] π 2cos 8 = 2 = 2+ 2 π π 2cos16= 2 1
=2

2+

2,

2+

2+ 2,

2

2cos 4 =2·

2
π

= 2 2
1+ 2

1+ cos 4

2

=2·

2

1+ cos 8

2
2

1+ 2 2+



2+

2+

2

2 ?

第-7-

页 共 11



---

------WORD 格式-----可编辑-------

19. ( 本题满分 12 分 ) 已知数列 { an} 满足 a1=3, an· an -1=2· an- 1- 1. (1) 求 a2、 a3、 a4; (2) 求证:数列 [ 解析 ] 1 是等差数列,并写出数列 = 2· a -1得
n- 1 n

a-1

{ a } 的一个通项公式.

n

(1) 由 a · a
nn-1

1

a n= 2- a n- 1 ,
1

代入 a = 3, n 依次取值

2,3,4 ,得

a = 2- 1
= 3

5
3,a

=2- 3
3

7
4

5

5= 5, a = 2-

= . 7 7

9

2

(2) 证明:由 an· an-1=2· an- 1- 1 变形,得 ( an -1) ·(an- 1- 1) =- ( an- 1) +( an- 1-1) , 1


1


an- 1

an-1- 1



1,

1 所以 { an- 1} 是等差数列. 1 1 1 由 = ,所以 = + n- 1, a1- 1 2 an- 1 2 2
变形得 a - 1= 2n- 1,
n

1

2 n+ 1 所以 an= 2n-

1 为数列 { an} 的一个通项公式. x-
x

2
( a>1) .

20. ( 本题满分 12 分 ) 已知函数 f ( x) = a + (1) 证明:函数 f ( x) 在( - 1,+∞ ) 上为增函数; (2) 用反证法证明方程

f ( x) = 0 没有负根.

[ 解析 ] (1) 证法 1:任取 x1,x2∈( - 1,+∞ ) ,不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,且

ax1>0,

又∵ x1+ 1>0,x2+ 1>0,

x2- 2 x1- 2
∴ f ( x2) - f ( x1) = x2+ 1- x1+ 1
= ( x2- 2)( x1+ 1) - ( x1- 2)( x2+ 1)

( x1+ 1)( x2+ 1) = 3( x2- x1) ( x1+ 1)( x2+ 1)

>0,

第-8-

页 共 11 页

---

------WORD 格式-----可编辑-------

x2- 2 x1-2
于是 f ( x2) - f ( x1) = ax2- ax1+ x2+ 1- x1+1>0, 故函数 f ( x) 在 ( - 1,+∞ ) 上为增函数. 证法 2: ′( ) =
x

ln +

x+ 1- ( x- 2)
2



x

ln +

3
2

fx

a

a
x

( x+ 1) 3

a

a

( x+ 1)

∵a>1,∴ ln a>0,∴ a ln a+ ( x+ 1) 2>0,

f ′(x)>0 在( - 1,+∞ ) 上恒成立,
即 f ( x) 在 ( -1,+∞ ) 上为增函数.

(2) 解法 1:设存在 x0<0( x0≠- 1) 满足 f ( x0) =0 x0- 2 x0 则 a =- ,且 0<ax0<1. x 0+ 1

x-2
0

1

∴ 0<- x0+ 1<1,即 2<x0<2,与假设 x0<0 矛盾. 故方程 f ( x) = 0 没有负数根. 解法 2:设 x0 <0( x0≠- 1) x0- 2
x0

①若- 1<x0<0,则

<- 2, a <1,∴ f ( x0)< - 1.
x0

x0- 2
②若 x0<- 1 则 ∴ f ( x0)>0. 综上, >0, a >0,

x

<0( ≠- 1) 时, ( )< -1 或

( )>0 ,即方程

x

f x f x 2 12 分 ) 我们知道,在△ ABC 中,若 c = a2+ b2 ,则△ ABC 是直角三角
n n

f x

( ) =0 无负根.

21. ( 本题满分 形.现
n

在请你研究:若 [ 解析 ]

c =a + b ( n>2) ,问△ ABC 为何种三角形?为什么?
∵ c = a +b
n n n

锐角三角形

(n> 2) ,∴ c> a, c > b,

由 c 是△ ABC 的最大边,所以要证△ > 0.
∵cos = C

ABC 是锐角三角形,只需证角

C 为锐角,即证 cos C

a2 + b2 - c 2
2ab
n n



∴要证 cos C> 0,只要证 a2+ b2>c2 ,① 注意到条件: a + b = c ,
22 n- 2n

n

于是将①等价变形为:

(a+b)c
n-2

>c.②
n- 2

∵ c> a, c>b, n> 2,∴ c 即c
n- 2

>a

,c

n- 2

>b

n- 2



-a

n- 2

> 0,c


n- 2

-b

n-2

> 0,


从而 ( a2+ b2) cn =a ( c
2 n- 2

2

- c n = ( a2 + b2 ) c n
2 n- 2

2

-an- bn

-a

n- 2

) +b ( c

-b

n- 2

) > 0, 页 共 11 页

第-9-

---

------WORD 格式-----可编辑-------

这说明②式成立,从而①式也成立. 故 cos > 0,
22. ( 本题满分

是锐角,△

为锐角三角形.

C

C

14 分)(2010 ·安徽理, 20) 设数列 a , a ,? a ,?中的每一项都不为
12n

ABC

0.

证明 { an} 为等差数列的充分必要条件是:对任何

n∈N+ ,都有
aa

1
1 2


aa

1
2 3

+?+ a a
n

1



n+ 1

n
.

a1an+ 1
[ 分析 ] 求解能力. 解题思路是利用裂项求和法证必要性,再用数学归纳法或综合法证明充分性. [ 证明 ]
先证必要性. 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识,考查推理论证、运算

设数列 { an} 的公差为 d. 若 d= 0,则所述等式显然成立. 若 d≠0,则 1
aa

+a

1

a +?+ a
1

1
aa

1 2

2 3

n

n+1

1a


2-

a

3-

a
2

n+1- n

aa

d a1a2 + a2a3 +?+ anan+ 1

1

1

= d a1 a 2 + a 2 1 1 1a 1 - = a1 an+ 1 =



1

1



1

1



1

a3 +?+ an an+ 1
n+ 1 1

-a
n+1

1

d


daa n
.

a1 an + 1
再证充分性. 证法 1: ( 数学归纳法 ) 设所述的等式对一切

n∈ N 都成立.首先,在等式


1



1



2

a 1a 2 a 2a 3 a 1a 3 两端同乘 a a a ,即得 a + a = 2a ,所以 a , a , a 成等差数列,记公差为 d,则 a =a
1 2 3 1 3 2 1 2 3 2
1

+ d. 假设 ak= a1+ ( k- 1) d,当 n= k+1 时,观察如下两个等式

aa+
1 2

1

1
aa

+?+

1

a
1

a=

k- 1
aa

,①

2 3

k- 1 k

1 k

aa+
1 2

1

1
aa

+?+

a

1 + a aa
k k +1

= aa ②
1 k+ 1

k

2 3

k- 1 k

将①代入②,得

k-1
aa


aa

1
k



k aa
1 1


k
k+ 1

在该式两端同乘

1

k

k+ 1

k+ 1

,得 (

-1)

k

+1

+ 1=

k

. 页

aaa

k

a

a

ka

第 - 10 -

页 共 11

---

------WORD 格式-----可编辑-------

将 ak =a1+ ( k- 1) d 代入其中,整理后,得 ak+ 1= a1+ kd. 由数学归纳法原理知,对一切 n∈ N,都有 数列. 证法 2: ( 直接证法 ) 依题意有 1 + 1 +?+ aa
1 2 2 3

an= a1+ ( n- 1) d,所以 { an} 是公差为 d 的等差

aa

aa

1 = n aa
1 n +1

,① 1
a

n n+1

1
aa

1 1 +a a +?+ a a + a
2 2 3 n n+1

=a
n+ 2

n+ 1 a .②
1 n+ 1

1

n+ 1

②-①得 1

a

a
n+ 1 n+2



n+ 1 n
aa


aa


1 n+ 1

1 n+ 2

在上式两端同乘

a1a + 1a + 2,得 a1= ( n+ 1) a + 1-na + 2. ③
nn n n

同理可得 a1= nan- ( n- 1) an+ 1( n≥2) ④ ③-④得 2nan+ 1= n( an+ 2+an) 即 an+ 2- an+ 1= an+ 1- an, 由证法 1 知 a3-a2= a2- a1,故上式对任意

n∈ N* 均成立.所以 { an} 是等差数列.

第 - 11 -

页 共 11



---




友情链接: 时尚网 总结汇报 幼儿教育 小学教育 初中学习资料网