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2020高考数学(文):第十章 复数、算法初步、统计与统计案例课下层级训练54

课下层级训练(五十四) 数系的扩充与复数的引入

[A 级 基础强化训练]

1.(2019·山西太原模拟)复数12--ii对应的点位于(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

D [复数12--ii=??12--ii????22++ii??=35-15i,∴其对应的点为??35,-15??,在第四象限.]

2.若(x+2i)i=y-1i (x,y∈R),则 x+y=( )

A.-1

B.1

C.3

D.-3

A [由(x+2i)i=y-1i ,得-2+xi=y---ii2=y+i,∴x=1,y=-2.则 x+y=-1.]

3.(2019·黑龙江哈尔滨模拟)已知复数 z=1+2i,则 z·-z =( )

A.5

B.5+4i

C.-3

D.3-4i

A [方法一 ∵z=1+2i,∴z·-z =|z|2=( 12+22)2=5.

方法二 z·-z =(1+2i)·(1-2i)=1-(2i)2=1+4=5.]

4.已知复数 z=a+i(a∈R),若 z+-z =4,则复数 z 的共轭复数-z =( )

A.2+i

B.2-i

C.-2+i

D.-2-i

B [∵z=a+i,∴z+-z =2a=4,得 a=2.∴复数 z 的共轭复数-z =2-i.]

5.(2019·湖北襄阳模拟)已知 i 为虚数单位,复数 z=i(2-i)的模|z|=( )

A.1

B. 3

C. 5

D.3

C [∵z=i(2-i)=2i+1,∴|z|= 12+22= 5.]

6.设 z=ii+ -11,则 z2+z+1=(

)

A.-i

B.i

C.-1-i

D.-1+i

A [由 z=ii+-11=?-?1+1+i?i??-?-1-1-i?i?=-22i=-i,得 z2+z+1=(-i)2-i+1=-i.]

7.已知 a∈R,i 是虚数单位.若 z=a+ 3i,z·-z =4,则 a 等于( )

A.1 或-1

B. 7或- 7

C.- 3

D. 3

A [ ∵z·-z =4,∴|z|2=4,即|z|=2,∵z=a+ 3i,∴|z|= a2+3=2,∴a=±1.]

8.已知 a 为实数,若复数 z=(a2-1)+(a+1)i 为纯虚数,则a+1+i2 i016的值为(

)

A.1

B.0

C.1+i

D.1-i

D [复数 z=(a2-1)+(a+1)i 为纯虚数,可得 a=1,a+1+i2 i016=11++1i=?1+2?1i?-?1-i? i?=1-

i. ] 9.(2017·天津卷)已知 a∈R,i 为虚数单位,若a2-+ii为实数,则 a 的值为__________.

-2 [∵a∈R,a2- +ii=??a2- +ii????22--ii??=2a-1-5?a+2?i

=2a- 5 1-a+5 2i 为实数,∴-a+5 2=0,∴a=-2.]

10.设 f(n)=???11-+ii???n+???11+-ii???n(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为__________.

3 [f(n)=???11-+ii???n+???11+-ii???n=in+(-i)n,

f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,…, ∴集合{f(n)}中共有 3 个元素.]

[B 级 能力提升训练]

11.设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假命题是( )

A.若|z1-z2|=0,则-z 1=-z 2

B.若 z1=-z 2,则-z 1=z2

C.若|z1|=|z2|,则 z1·-z 1=z2·-z 2

D.若|z1|=|z2|,则 z21=z22

D [A 中,|z1-z2|=0,则 z1=z2,故-z 1=-z 2 成立.B 中,z1=-z 2,则-z 1=z2 成立.C

中,|z1|=|z2|,则|z1|2=|z2|2,即 z1·-z 1=z2·-z 2,C 正确.D 不一定成立,如 z1=1+ 3i,z2=2,

则|z1|=2=|z2|,但 z21=-2+2 3i,z22=4,z21≠z22.]

12.设复数 z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数 a 的取值范围是( )

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.(-1,1)

C.(1,+∞)

D.(0,+∞)

B [∵|z1|= a2+4,|z2|= 5,∴ a2+4< 5,即 a2+4<5,

∴a2<1,即-1<a<1.] 13.已知复数 z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|= 3,则yx的最大值为__________.
3 [∵|z-2|= ?x-2?2+y2= 3,

∴(x-2)2+y2=3.由图可知??yx??max= 13= 3.]

14.已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为 A,B, C.若O→C=λO→A+μO→B(λ,μ∈R),则 λ+μ 的值是__________.
1 [由条件得O→C=(3,-4),O→A=(-1,2), O→B=(1,-1),根据O→C=λO→A+μO→B, 得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),

∴???-λ+μ=3, ??2λ-μ=-4,

解得???λ=-1, ??μ=2,

∴λ+μ=1.]

15.给出下列命题: ①若 z∈C,则 z2≥0; ②若 a,b∈R,且 a>b,则 a+i>b+i; ③若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ④若 z=-i,则 z3+1 在复平面内对应的点位于第一象限. 其中正确的命题是__________.(填上所有正确命题的序号)

④ [由复数的概念及性质知,①错误;②错误;若 a=-1,则 a+1=0 不满足纯虚数 的条件,③错误;z3+1=(-i)3+1=i+1,④正确.]
16.已知复数 z1=cos 15°+isin 15°和复数 z2=cos 45°+isin 45°,则 z1·z2=__________.

12+

3 2i

[z1·z2=(cos 15°+isin 15°)(cos 45°+isin 45°)=(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)+

(sin

15°cos

45°+cos

15°sin

45°)i=cos

60°+isin

60°=12+

3 2 i.]



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