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线性代数:分块矩阵

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第2.4节 分块矩阵
一.矩阵的分块 二.分块矩阵的运算法则 三.小结 思考题

一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵 A,为了
简化运算,经常采用分块法,使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是:将
矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵,每一个小矩阵称为 A 的子块,以子
块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.



?? a

A

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0 1

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1 a 0 1

0 0 b 1

0 ?? 0? 1? b ???

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B1 B2 B3

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A

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1 a
1 1

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1 1

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bb????

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?a 1 0 0?

?

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A

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0 1

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a 0 1

0 b 1

0? 1? b ???

? ?? C1 ? C3

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A

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a 0

0 b

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1

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??C1 ?C3

C2?? C4?

? 0 1 1 b?

?? a 1 0 0??

A

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0 1

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a 0 1

0 b 1

0? 1? b ???

? ?? A ?E

O B

??, ?

其中OBEA

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ab01 10

01?? 0ba1?

?? a 1 0 0??

?? a10??

A

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0 1

a 0

0 b

0? 1?

?

? A1

A2

A3

A4

?,其中?A2431??

? ?

a0 01b

? ?

??? 0 1 1 b???

??? 1b0???

二、分块矩阵的运算规则

?1? 设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用
相同的分块法,有

?? A11 ? A?? ?
?? As1 ?

A1r ??

?? B11 ?

??, B ? ? ?

Asr ??

?? Bs1 ?

B1r ?? ??
Bsr ??

其中Aij与Bij的行数相同, 列数相同, 那末

?? A11 ? B11 ? A? B ?? ?
?? As1 ? Bs1 ?

A1r ? B1r ?? ? ?.
Asr ? Bsr ??

?2?



A

?

?? ?

A11 ?

?

?? As1 ?

A1r ?? ??,

?为

数,





Asr ??

?? ?A11 ? ?A ? ? ?
?? ?As1 ?

?A1r ??
? ?.
?Asr ??



? ? 2,

?? 1 A ? ?3

2 2

3 ?? 1?

?? 4 5 6 ??

?? 1 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 ?? 2 A ? ?3?2 2 ?2 1 ?2?
?? 4 ? 2 5 ? 2 6 ? 2 ??

?? 4 4 6 ?? ? ?6 4 2 ?.
?? 8 10 12??

?3? 设A为m ? l矩阵, B为l ? n矩阵,分块成

?? A11 ? A?? ?
?? As1 ?

A1t ?? ??, Ast ??

?? B11 ? B?? ?
?? Bt1 ?

B1r ?? ??, Btr ??

其中Ai1 , Ai2 ,? , Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,? , Bij

的行数, 那末

?? C11 ? C1r ??

AB ? ? ?

??

t

?? Cs1 ? Csr ??

? 其中Cij ? Aik Bkj ?i ? 1,? , s; j ? 1,? , r ?.

k ?1

?4?



A

?

?? ?

A11 ?

?

?? As1 ?

A1r ??

????AA1T1T11 ??

??, 则则 AATT ???? ??

Asr ??

?? ??

AA1Tr1Tr

??

AAsTsT11 ????

????..

AAsTsTrr

?? ??

?5? 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线

上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都

是方阵.即

?? A1

A

?

? ?

A2

?? O

?

?

O ?

? ??,

As ???

?? A1

A

?

? ?

A2

?? O

?

?

O ?

? ??,

As ???

其中 Ai ?i ? 1,2,? s? 都是方阵,那末称 A为分块
对角矩阵.

分块对角矩阵的行列式具有下述性质:

A ? A1 A2 ? As .

?? A1

o ?6?设 A

?

? ?

A2

??

?

o ??

?

??, As ???

若 Ai ? 0?i ? 1,2,? , s?,则 A ? 0,并有

?? A1?1

o ??

A?1?

? ?

???

A2?1
o?

??. A?s 1???

?? A1 0 ? 0 ???? B1 0 ? 0 ??

?7?

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0 ?

A2 ? ??

0 ?? 0 ? ???

B2 ? ??

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??? 0 0 ? As ?????? 0 0 ? Bs ???

?? A1B1

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0?

0?

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0 ?

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AsBs ???

例1 设

?? 1 0 0 0??

A

?

? ?

0 ?1

1 2

0 1

0 0

??,

??? 1 1 0 1???

求 AB.

?? 1 0 1 0??

B

?

? ?

?1 1

2 0

0 4

1 1

??,

??? ? 1 ? 1 2 0???



把A, B分A块?A成?????????10???????11?11011012

0 00 1 00 211 100

0000?????? 1010????????

? ???AI 1

O I

??, ?

? 1 0 1 0?

?

?

B

?

? ?

?1 1

??? ? 1

2 0 ?1

0 4 2

1? 1? 0 ???

?

??B11 I ?? ?B21B22?

则 AB ? ?? I O ???? B11 I ?? ? A1 I ?? B21 B22 ?

? ?? B11

I ??.

? A1B11 ? B21 A1 ? B22 ?

AB ? ?? B11

I ??.

? A1B11 ? B21 A1 ? B22 ?



A1B11 ? B21 ? ?? ? 1 ?1

2???? 1 1?? ? 1

0?? ? ?? 1 2? ??1

0 ?? ? 1?

? ?? ? 3 ?0

4?? ? ?? 1 2? ??1

0 ?? ? 1?

? ?? ? 2 ??1

4 ?? , 1?

A1

?

B22

?

?? ?

?1 1

2?? ? ?? 4 1? ?2

1?? ? ?? 3 0? ?3

3 ??, 1?

于是

AB ? ?? B11

I ??

? A1B11 ? B21 A1 ? B22 ?

?? 1 0 1 0??

?

? ?

? ?

1 2

4 4

0 3

13 ??.

??? ? 1 1 3 1???

?? a 1 0 0??

例2



A

?

? ?

0 0

a 0

0 b

0 1

??,

??? 0 0 1 b???

?? a 0 0 0??

B

?

? ?

1 0

a 0

0 b

0? 0?

?

?

?0 0 1 b?

求 A ? B, ABA.

解 将 A, B分块

?a 1 0 0?

?

?

A

?

? ?

0 0

??? 0

a 0 0

0 b 1

0? 1? b ???

?

?? ?

A1 0

0? ?,
A2 ?

其中

?a

A1

?

? ?

0

?b

A2

?

? ?

1

1 ??, a? 1 ??; b?

?? a

B

?

? ?

1 0

?

?0

0 a 0 0

0 0 b 1

0?

?

0 0

? ?

?

?? ?

B1 0

?

b?

0 ??,

其中

B1

?

?? ?

a 1

B2 ?

B2

?

?? ?

b 1

0 ??, a? 0 ??; b?

A ? B ? ?? A1 0 ?? ? ?? B1 0 ?? ? 0 A2 ? ? 0 B2 ?

? ?? A1 ? B1

0 ??,

?0

A2 ? B2 ?

A1

?

B1

?

?? ?

a 0

1 ?? ? ?? a a? ?1

0?? ? ?? 2a a? ? 1

1 ??, 2a ?

A2

?

B2

?

?? ?

b 1

1?? ? ?? b b? ?1

0?? ? ?? 2b b? ? 2

1 ??, 2b ?

? A ? B ? ?? A1 0 ?? ? ?? B1 0 ?? ? 0 A2 ? ? 0 B2 ?

? ?? A1 ? B1

0 ??

?0

A2 ? B2 ?

?? 2a 1 0 0 ??

?

? ?

1 0

2a 0

0 2b

0 1

??.

??? 0 0 2 2b???

ABA ? ?? A1 0 ???? B1 0 ???? A1 0 ?? ? 0 A2 ?? 0 B2 ?? 0 A2 ?

? ?? A1B1 A1

0 ??,

?0

A2B2 A2 ?

A1B1 A1

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????

a

3? a2

a

2a2 ? 1 a3 ? a

????,

A2 B2

A2

?

????

b3 ? 2b 3b2

2b2 ? 1 b3 ? 2b

????,

? ABA ? ?? A1 0 ???? B1 0 ???? A1 0 ?? ? 0 A2 ?? 0 B2 ?? 0 A2 ?

? ?? A1B1A1

0 ??

? 0 A2B2 A2 ?

?? a3 ? a

?

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???

a2 0 0

2a2 ? 1 a3 ? a
0 0

0
0 b3 ? 2b
3b2

0 ??

0 2b2 ? 1 b3 ? 2b

??. ???

?5 0 0?

?

?

例3 设 A ? ? 0 3 1?, 求 A?1.

?? 0 2 1??



?? 5 A ? ?0
?? 0

0 3 2

0 ?? 1? 1 ??

?

?? ?

A1 O

O? ?,
A2 ?

A1 ? ?5?,

A1?1

?

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1 5

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A2

?

?? ?

3 2

1??, 1?

A1?1

?

?? ?

1 5

??; ?

A2?1

?

?? 1 ??2

? 1??; 3?

?

A?1

?

????

A1?1 O

O A2?1

????

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1
5 0

0 1

0 ?? ? 1??.

??? 0 ? 2 3 ???

三、小结
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法.
分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(1) 加法 同型矩阵,采用相同的分块法 (2) 数乘 数k乘矩阵A,需k乘A的每个子块 (3) 乘法 若A与B相乘,需A的列的划分与B的行的划分相一致

(4) 转置

?? A11 ? A?? ?

A1r ?? ??

?

?? A1T1 AT ? ? ?

?

AsT1?? ??

?? As1 ? Asr ??

? ?

A1Tr

?

AsTr

? ?

(5) 分块对角阵的行列式与逆阵

?? A1

A

?

? ?

A2

?? O

?

?

O ?

?

? ?

?

A?

A1

A2 ?

As .

As ???

?? A1

A

?

? ?

A2

?? O

?

O

?? ?

?? As ???

A可逆 ? Ai可逆i ? 1,2,? , s且
? ? A?1 ? diag A1?1, A2?1,? , As?1 .

思考题
(1) 设 A ? ?? B D??,其中B和C都是可逆方阵,
?0 C? 证明A可逆, 并求A?1 .

思考题(1)解答

证 由B,C可逆, 有 A ? B C ? 0, 得A可逆.

设 A?1 ? ?? X ?W

Z ??, Y?

则?? B ?0

D???? X C ??W

Z ?? ? ?? I Y ? ?0

0 ??. I?

?BX ? DW ? I ,

?

?? ? ?

BZ

? DY CW

? ?

O, O,

??

CY ? I .

? X ? B?1,

?

? ? ? ?Z

Y ? C ?1, ? ?B?1DC ?1,

?? W ? O.

因此

A?1

?

????

B ?1 O

?

B ?1 DC C ?1

?1

????.

?1 2 0 0 0 ?

??3 4

0

0

0

? ?

(2)设A ? ?0 0 ? 4 0 0 ?,计算

??0 0 0 3 ? 1??

??0 0 0 5 ? 2??

A, A?1, AT A, A2 , 2( AT A)2 .




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