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所得税缴费点选址问题

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东南大学第五届数学建模竞赛

所得税缴税点选址问题 所得税缴税点选址问题 缴税
摘要: 摘要:
本文对所得税缴税点的选址问题进行分析和优化设计,提出两个优化模型(模型一和模型二) 。 模型一假设居民就*选择缴税点前往缴税。其合理选址的标准是:使得所有居民前往缴税点的路程之 和尽可能短,并且各缴税点的人数分布尽可能均匀,居民前往缴税点的路程差异尽可能小,此三条标准的 优先级依次递减,模型一将本选址问题理解为一个多元目标规划问题。由于本问题仅涉及 18 个地点,故 采用穷举法进行最优解探索,两点间最短距离的计算方法采用 Floyd 算法。 依据模型一的假设及其合理选址标准,经优化分析计算,本文结论如下: (1) 原有的缴税点选址不合理; (2) 如果考虑迁移 1 个缴税点,在只考虑总路程最短的情况下,应该将原位置 15 的缴税点迁移到 位置 4; (3) 如果将各缴税点的人数分布,和居民前往缴税点的路程差异也考虑在内,应该迁移原位置 15 的缴税点到位置 5; (4) 如果在原方案中增加一个新的缴税点,该点最好设在位置 5。 本问题中,由于各不同缴税点附*分布的居民数目之间差异比较大,若居民仅按照就*原则前往缴税 点, 会导致各不同缴税点需要服务的居民数目之间差异比较大。 如果各缴税点开设的服务窗口数量都相同, 有可能在某些缴税点居民需排队等待较长时间,而另一些缴税点的服务窗口却长时间清闲。 为体现该因素对选址合理性的影响,模型一将各缴税点的人数差异尽可能小也作为合理选址的标准之 一。 模型二假设各缴税点开设的服务窗口数量都相同,还假设居民在选择缴税点时不仅需考虑路途远* (假定所有居民都以相同速度前往缴税点,并折算成时间,本文定义为路途时间) ,还需考虑在缴税点可 能的排队等待时间(定义为排队时间) ,并定义路途时间与排队时间之和为居民缴税的总时间。仍用 Floyd 算法求解居民对缴税点的选择情况,并采用穷举法进行最优解探索。 运用此模型对居民的缴税情况进行模拟,经过多个模拟缴税周期后,每个居民对缴税点的选择将趋于 稳定。由于居民在选择缴税点时已考虑到等待时间,以所有居民缴税的总时间之和最短为标准,计算所得 之最优选址结果,可同时导致各缴税点的人数分布差异达到最小。 因此模型二将模型一中使得所有居民前往缴税点的路程之和尽可能短和各缴税点的人数分布尽可能 均匀两条标准自然地合并为一条标准:使得所有居民缴税总时间之和最短。 依据模型二的假设及其合理选址标准,经优化分析计算,其选址结论与模型一相同。但评价标准更贴 *实际。

关键词: 关键词:多元目标规划;Floyd 算法;穷举法

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1、 问题重述 、 所得税管理部门计划对某个区域中的缴税点进行重新设计。该区域原来有 4 个缴税点,分别位于图 1 的 2,6,13,15 位置。图 1 是该区域的一个实际简化,其中连接线表示有道路相通,连接线上数字表示两地距 离(单位百米) ,圆圈内数字是位置序号。

图 1 该区域的简化图

位置 人数 位置 人数

1 50 10 30

2 45 11 30

3 45 12 36

4 48 13 25

5 40 14 20

6 40 15 15

7 36 16 20

8 32 17 10

9 32 18 10

各点居民数(单位千人) 表 1 各点居民数(单位千人)

请你解决如下问题: (1) 给出合理选址的标准。 (2) 根据你的标准,分析原来的选址是否合理? (3) 如果考虑迁移 1 个缴税点,应该迁移哪个缴税点,迁到哪里? (4) 如果在原方案中增加一个新的缴税点,该点最好设在哪里?

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2、 问题背景 税收是公民依法向征税机关缴纳一定的财产以形成国家财政收入,从而使国家得以具备满足人民对公 共服务需要的能力的一种活动。构建和谐社会,实现经济又好又快发展、社会全面进步、人民群众安居乐 业,需要强大的财力作保障。税收是国家财政收入的最主要来源。 如今在我国,税收的性质是“取之于民,用之于民”,国防和军队建设、农业基础设施建设、道路交 通和城市基础设施建设、科学研究、医疗卫生、文化教育、抗击灾害、环境保护等等,都主要依赖于税收 的财力支撑。 国家运用税收筹集财政收入,通过预算安排用于财政支出,提供公共产品和公共服务,促进经济社会 发展,满足人民群众日益增长的物质文化等方面的需要。 征收所得税,还具有调节收入分配,缩小收入差异,缓解社会分配不公的矛盾,促进经济发展和社会 稳定的作用。 依法纳税是公民的基本义务。 管理部门则应当千方百计改善服务环境, 积极为公民纳税提供便利条件, 包括解决好所得税缴税点的合理选址问题。 3、 问题的分析 依法纳税是每个公民日常生活的组成部分,居民前往缴税点的路程,缴税所需时间,对于管理部门合 理选择所得税缴税点,以最大程度方便居民缴税具有重大作用。 本题给出了某区域内连接各居民聚居区的道路长度及各居民聚居区人口数,要求我们给出缴税点选址 标准,评价原有的缴税点选址的合理性,并按要求改进缴税点选址方案。 为使我们的方案较为全面,以更好的适应实际情况,我们必须首先考虑影响居民缴税点选择的各种因 素,如距离远*、办理业务的等待时间长短,尽可能考虑它们作用的条件和影响程度;同时,合理的假设 是解决本问题的重要步骤,如同一聚居区居民对缴税的的选择是否相同、每个缴税点的规模差异等等,对 这些数据的假设,还应注意特殊性与普遍性相结合,保证我们建立的数学模型是现实可行的。 4、 模型假设与约定 4.1 模型一 (1) 假设该区域内所有居民都须纳税; (2) 假设同一居住点的所有居民都选择相同的缴税点纳税; (3) 假设各缴税点开设的服务窗口数量都相同,且为有限值; (4) 居民以就*原则选择缴税点; 4.2 模型二 (1) 假设该区域内所有居民都须纳税; (2) 假设同一居住点的所有居民都选择相同的缴税点纳税; (3) 假设各缴税点开设的服务窗口数量都相同,且为有限值; (4) 假设居民在选择缴税点时不仅需考虑路途远*(假定所有居民都以相同速度前往缴税点,并折算 成时间,本文定义为路途时间) ,还需考虑在缴税点可能的排队等待时间(定义为排队时间,并 假定各缴税点的排队时间与选择到该点缴税的居民数目成正比) ; (5) 定义路途时间与排队时间之和为居民缴税总时间;

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符号说明及名词定义: 5、 符号说明及名词定义: 方差:各个数据与*均数之差的*方的*均数。

vi :位置 i ,图1中标有1-18的区域;
hi :位置 i 处的居民数目,单位为千人;

eij :连接 vi 与 v j 的道路; wij : eij 长度, 当 eij 不存在时(无法从 vi 直接到达 v j ) wij 记为 +∞ ; , dij :从 vi 到 v j 的最短路程,单位为百米; s j :所得税缴税点,简*伤暗悖栌谢蚣苹柚盟盟敖伤暗愕奈恢茫 disi :从 vi 到最*缴税点的距离,单位为百米;

σ 2 :居民以就*原则前往所得税缴税点的路程的方差;
Pe j (k ) :第 k 个模拟缴税周期前往编号为 j 的缴税点缴税的总人数;
Pe(k ) :第 k 个模拟缴税周期 Pe j (k ) 的*均数;

? (k ) :人数分布均衡度,在第 k 个缴税周期, Pe j (k ) 的方差;
wt j (k ) :在第 k 个缴税周期前往 s j 办理缴税业务的排队时间; wt j (k ) :到第 k 个缴税周期为止,周期前往 s j 办理缴税业务的*均排队时间; A :模型一假设下所有居民前往缴税点的路程之和,单位为十万米; B :模型二假设下所有居民缴税所需的总时间之和。

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模型建立与求解 6、 模型建立与求解 模型一 从18个居民聚居区 vi (i = 1, 2,L18) 中任选四处,设立所得税缴税点 s j ( j = 1, 2,3, 4) ,可能的位置组合 共有 C18 种,考虑到这个数目不是很大,可以用c++语言编写程序进行穷举,在模型一的假设下,用Floyd 算法求解各点之间的最短距离。计算所得税缴税点的每种选址情况中所有居民前往缴税点的路程之和 A , 人数分布均衡度 ? ( k ) ,以及居民前往所得税缴税点的路程方差 σ ,作为评价选址合理性的依据。
2

4

具体算法是: 第一步:使用Floyd算法算出任意两位置间的最短路程,并保存为一个最短距离矩阵。 以18个居民聚居区 vi (i = 1, 2,L18) 为图的定点, 两聚居区间的直通道路 eij 为图的边, 得到图 G 。 G 对 的每条边,赋以一个实数 wij ,即直通道路的长度,称为权,得到赋权图。利用Floyd算法求解赋权图 G 中 指定的两个顶点间的具有最小权的轨 dij ,即为从 vi 到 v j 的最短路程。 Floyd算法的基本思想是: 递推产生一个矩阵序列 A0 , A1 , A2 ,L Ak ,L An , 其中 Ak (i, j ) 表示从顶点 vi 到

v j 的路程上所经过的顶点序号不大于 k 的最短路径长度。
计算时用迭代公式:

Ak (i, j ) = min( Ak ?1 (i, j ), Ak ?1 (i, k ) + Ak ?1 (k , j )) k 是迭代次数, i, j , k = 1, 2,L , n 。
最后,当 k = n 时, An 即是各顶点之间的最短路程。 第二步:从18个居民聚居区 vi (i = 1, 2,L18) 中任选四处,设立缴税点 s j ( j = 1, 2,3, 4) 。 第三步:居民选择与其距离最短的缴税点,并根据缴税点的选择计算所有居民前往缴税点的路程之和 A , 人数分布均衡度 ? ( k ) ,以及居民以就*原则前往所得税缴税点的路程方差 σ 。
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A = ∑ hi × disi
i =1

18

disi = min( d is1 , d is2 , d is3 , d is4 )

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6.1 问题一 缴税点的选取应最大程度的为纳税人提供便利,因而其选址首先要使得所有居民前往缴税点的路程之 和尽可能短,以减少前往缴税点所需的路上时间,考察参数为 A 。 由于实际情况中,每个缴税点单位时间办理业务的能力有限,且于其规模正相关,当某时刻业务量超 出缴税点办理能力时,居民办理缴税业务的时间包含路途时间与排队时间两部分。为减少排队时间,各缴 税点的人数分布应尽量均匀,考察参数为 ? ( k ) 。 在整体利益得到满足的条件下我们应适当考虑个体利益,以确保选址的公*性,即考虑居民前往缴税 点的路程差异尽量小,考察参数为 σ 。
2

6.2 问题二 首先计算出评价选址的四个参数:

A
13998 缴税点 2 6 13 15

? (k )
13566.5
原方案四个缴税点的 点的评价参数 表2-1 原方案四个缴税点的评价参数

σ2
332.258 总人数(千人) 340 98 81 45

缴税点人数来源 1、2、3、5、7、8、9、10、11 4、6、18 12、13、14 15、16、17
原方案四个缴税点的 数分布表 点的人 表2-2 原方案四个缴税点的人数分布表

原始缴费点的人数分布

8% 14% 缴费点2 缴费点6 缴费点13 缴费点15

17%

61%

原方案各缴税点的人数 人数量分布图 图 2 原方案各缴税点的人数量分布图

由此,我们认为原方案的缴税点设置的不合理。理由如下: (1) 首先所有居民前往缴税点的路程之和过大,达到 13998(十万米) ,若选址合理,可使路程之和最 短达到 10850(十万米) ,此时选址为 2、4、7、12,并且许多其他设置方案的路程之和都远远小 于这个值,所以这个路程和偏大。 (2) 其次人数分布不均匀,有 61%的居民前往 2 缴税点,这是非常不合理的,这不仅会导致 2 缴税点 的排队时间过长,同时也会使其他三个缴税点的利用率较低。 (3) 最后居民以就*原则前往所得税缴税点的路程方差过大,缴税点选址有失公允。

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为进一步说明问题,我们找出了一种较好的方案,与初始方案进行对比: 缴税点 原有方案 一种较好的方案 2、6、13、15 2、3、4、5

A
13998 11012
两种方案的评价参数对比 表 3 两种方案的评价参数对比

? (k )
13566.5 133.5

σ2
332.258 255.203

缴费点设为2,3,4,5处的人数分布

29%

24% 缴费点2 缴费点3 缴费点4 缴费点5 22%

25%

缴税点设置在 、 、 、 四个地点的人数分布 人数分布图 图 3 将缴税点设置在 2、3、4、5 四个地点的人数分布图

由此可以清晰地看出原来的缴税点设置不够合理。 6.3 6.3 问题三 题目要求迁移1个缴税点使得选址更合理,筛选 C18 种不同选址情况,对 s j ( j = 1, 2,3, 4) 中包含
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v2 , v6 , v13 , v15 中任意三者的选址结果进行讨论。我们穷举了所有可能的情况,由于数据量太多,就以 A 小
于13000作为筛选标准。 筛选统*峁缦拢 初始缴税点 15 15 6 13 6 15 13 13 6 目标缴税点 4 5 4 5 5 1 1 4 1

A
12098 12164 12248 12286 12484 12674 12796 12910 12994

? (k )
8980.5 1393.5 12368 4579.5 5925.5 1866 3679.5 9411.5 8378

σ2
274.145 255.483 249.579 231.772 206.078 337.948 313.846 306.718 287.516

各方案评价参数对比( 评价参数对比 升序排列) 表 4-1 各方案评价参数对比(按 A 升序排列)

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初始缴税点 15 15 13 13 6 6 15 13 6

目标缴税单 5 1 1 5 5 1 4 4 4

? (k )
1393.5 1866 3679.5 4579.5 5925.5 8378 8980.5 9411.5 12368

A
12164 12674 12796 12286 12484 12994 12098 12910 12248

σ2
255.483 337.948 313.846 231.772 206.078 287.516 274.145 306.718 249.579

各方案评价参数对比( 评价参数对比 表 4-2 各方案评价参数对比(按

? (k ) 升序排列) 升序排列)
A
12484 12286 12248 12164 12098 12994 12910 12796 12674
2

初始缴税点 6 13 6 15 15 6 13 13 15

目标缴税点 5 5 4 5 4 1 4 1 1

σ2
206.078 231.772 249.579 255.483 274.145 287.516 306.718 313.846 337.948

? (k )
5925.5 4579.5 12368 1393.5 8980.5 8378 9411.5 3679.5 1866

各方案评价参数对比 评价参数对比( 升序排列) 表 4-3 各方案评价参数对比(按 σ 升序排列)

合理选址的标准是:使得所有居民前往缴税点的路程之和尽可能短,各缴税点的人数分布尽量均匀,居民 前往缴税点的路程差异尽量小,其重要性依次递减。 (1) 首先只考虑路程之和最短,此时应该将位置 15 的缴税点迁移至位置 4。 (2) 若将位置 15 处的缴税点迁移至位置 4, 此时所有居民前往缴税点路程和最小, 但其 ? ( k ) 和 σ 都
2

比较大,即人数分布不够均衡,并且每个居民前往最*的缴税点路程的方差过大,有失公允。若 将位置 15 处的缴税点迁移至位置 5,所有居民前往缴税点路程和比将 15 迁移至 4 方案的路程和 稍大,但是这种方案中人数分布最为均衡,这也就意味着各缴税点工作相对均衡。这种方案的居 民路程方差 σ 并不是最优的,但是比将 15 迁移至 4 方案要稍小一点,并且路程上远小于 σ 更
2 2

小的其他方案。 所以下面我们对(1)和(2)两种方案进行单独分析比较: 初始缴税点位置 15 15 搬迁后缴税点位 置 4 5

A
12098 12164

? (k )
8980.5 1393.5

σ2
274.145 255.483

两种方案评价参数对比 表5-1 (1)和(2)两种方案评价参数对比 8

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方案(1):将15迁移至4 缴税点 2 4 6 13 缴税点人数来源 2、9、10、11 1、3、4、5、7、8、15、16、17 6 、18、50 12 、13、14、81
方案( 人数分布表 表 5-2 方案(1)人数分布表

总人数 137 296 50 81

将缴费点从15处移到4处的人数分布

24% 缴费点2 缴费点6 缴费点13 缴费点4

53%

9% 14%

方案( 人数分布图 图 4-1 方案(1)的人数分布图

方案(2):将 15 迁移至 5 缴税点 2 5 6 13 缴税点人数来源 2、3、9、10、11 1、5、7、8、 4、6、15、16、17、18 12、13、14
方案( 人数分布表 表 5-3 方案(2)人数分布表

总人数 137 158 143 81

将缴费点从15处移到5处后的人数分布

16%

26% 缴费点2 缴费点5 缴费点6 缴费点13 30%

28%

方案( 人数分布图 图 4-2 方案(2)的人数分布图

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从上述图表里我们可以看出,若选择将 15 迁移至 4,虽然居民前往缴税点的路程和最小,但 4 缴税点 的人数量将会非常的大,整个区域 53%的人都集中在 4 缴税点,这是非常不合理的。而若将 15 迁移至 5 处,其居民前往缴税点的总路程稍大,但实际上分配到每位纳税者时路程不足 13 米。同时将 15 迁移至 5 处,人数分布非常合理,居民前往就*的缴税点路程的方差相对较小,这对所有居民会更加公*一点。 综上我们得出结论:如果考虑迁移 1 个缴税点,应该迁移位置 15 处缴税点,应该将其迁移至位置 5 处。 6.4 6.4 问题四 题目要求增加一个新的缴税点使得选址更合理,只要将前一个问题的缴税点数设为5个,用相同的方 法可以得到数据。 针对上述模型,采用穷举法来解决问题: 新加缴税点 5 1 4 7 8 9 3 18 12 11 10 14 16 17

A
10724 11234 11348 11602 12078 12270 12320 12446 12600 13026 13158 13358 13458 13598

? (k )
2531.76 2909.76 7655.36 9448.56 10091.8 6968.56 6292.16 9492.56 6516.16 10098.2 10314.2 13546.2 13854.2 13582.2

σ2
183.564 270.646 264.638 244.561 285.395 293.167 373.564 229.222 365.175 360.069 362.267 350.986 351.421 339.158

表 6-1 穷举所有的可能情况的统*峁

从上表中,我们可以清晰地看出将新缴税点设置在位置5处时,所有居民前往缴税点的路程和最短, 同时 ? ( k ) 和 σ 皆为所有情况中最小的,即人数分布最为均衡,并且居民以就*原则前往所得税缴税点的
2

路程方差最小。 缴税点 2 5 6 13 15 缴税点人数来源 2、3、9、10、11 1、5、7、8 4、6、18 12、13、14 15、16、17
将新缴税点 缴税点设置在 处后的人数分布 人数分布表 表 6-2 将新缴税点设置在 5 处后的人数分布表

总人数 182 158 98 81 45

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在5处新建缴费点后的人数分布

8% 14% 33% 缴费点2 缴费点5 缴费点6 缴费点13 缴费点15

17% 28%

将新缴税点 缴税点设置在 处后的人数分布 人数分布图 图 5 将新缴税点设置在 5 处后的人数分布图

由人数分布图表,我们发现新设5缴税点后,人数分布比较均衡,尤其2缴税点,由原来的34万的人数 量减为现今的18.2万的人数量,大大缓解了2缴税点工作人员的工作压力。综上我们得出结论:若新建一缴 税点,应该将其设置在5处。 7、 讨论 、 模型二 模型二假设各缴税点开设的服务窗口数量都相同,还假设居民在选择缴税点时不仅需考虑路途远* (假定所有居民都以相同速度前往缴税点,并折算成时间,本文定义为路途时间) ,还需考虑在缴税点可 能的排队等待时间(定义为排队时间) ,并定义路途时间与排队时间之和为居民缴税的总时间。仍用 Floyd 算法求解居民对缴税点的选择情况,并采用穷举法进行最优解探索。 运用此模型对居民的缴税情况进行模拟,经过多个模拟缴税周期后, 每个居民对缴税点的选择将趋于稳 定。由于居民在选择缴税点时已考虑到等待时间,以所有居民缴税的总时间和最短为标准求得的最优选址 结果本身可以保证各缴税点的人数分布均匀。 因此模型二的合理选址的标准是:使得所有居民缴税总时间之和最短。不考虑居民前往缴税点的路程 差异,选址问题成为一个单目标规划问题。 算法思路如下: 第一步:从18个居民聚居区 vi (i = 1, 2,L18) 中任选四处,设立所得税缴税 s j ( j = 1, 2,3, 4) 。 第二步:求解模型一,获得所有居民缴税路程和最短时各缴税点人数分布情况,进而估计各缴税点排队等 待时间。该时间与路途时间之和将影响居民下一次对缴税点的选择。 第三步:在模型二假设下,对居民的缴税情况进行多次模拟。 用 stepk 表示第 k 个模拟缴税周期,计算位置 vi 处居民在第 k 个模拟缴税周期,选择前往缴税点 s j 办 理缴税业务所需最短总时间 tis j , wt j ( k ) 为在 stepk 前往 s j 办理缴税业务所需的排队时间, β 为路途时间 与路程之比, dis j 为位置 vi 处居民前往缴税点 s j 的最短路程。

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tis j (k ) = β × dis j + wt j (k )
在 stepk 前往编号为 j 的缴税点缴税的总人数为 Pe j ( k ) ,假设每个缴税点在短时间内能够无等待处理 的业务量上限为第 k 个模拟缴税周期 Pe j ( k ) 的*均数 Pe( k ) ,超过该值则需要排队, α 为排队时间与超 额业务量的比值。

?( Pe j (k ) ? Pe(k )) × α , Pe j (k ) ? Pe(k ) ≥ 0 ? wt j (k ) = ? 0 , Pe j (k ) ? Pe(k ) p 0 ? ?
进入 stepk 时,位置 vi 处居民根据预*伤白苁奔 ti ( k ) 最短原则选择缴税点。

$

t$ (k ) = min(tis j (k )) = min( β × dis j + wt j (k )) i
根据前 k ? 1 个模拟缴税周期排队时间的*均值,估计 stepk 的排队时间。

1 k ?1 wt j (k ) = wt (k ? 1) = ∑ wt j (n), (k ≥ 2) k ? 1 n =1
第四步: N 个模拟周期后,居民对缴税点的选择将趋于稳定,或仅在某几个固定缴税点间变化,即算出 此时所有居民缴税所需的总时间之和 B ,人数分布均衡度 ? ( k ) 。

B = ∑ hi × ti ( N )
i =1

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ti ( N ) = min(tis1 ( N ), tis 2 ( N ), tis 3 ( N ), tis 4 ( N ))
为方便定量计算,我们对该模型中涉及的参数进行了合理假设(取 β = 1 , α =

1 )。 10

7.1 问题一 根据上文,假设居民在选择缴税地点时不仅会考虑距离因素而且将考虑等待办理业务的时间,如果选 择合理,各缴税点的人数量将自然的均匀分布。 因此模型二的合理选址的标准是:使得所有居民缴税总时间最短。 问题二 7.2 问题二 初始缴税点的设置是不合理的。因为若缴税点设置在初始的四个地点,居民缴税总时间之和将达到 20764,从下表我们可以看出这个数值是比较大的,几乎是将缴税点设置在2、5、6、13方案总时间之和的两 倍;同时由模型一中的统计数据我们知道将缴税点设置在初始的四个地点时,各缴税点人数分布极为不均 衡,所以我们认为初始的四个缴税点设置是不合理的。

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缴税点 初始缴税点 2、5、6、13 1、2、6、13 2、5、6、15 2、5、13、15

wt j (k )
20764 12688.4

13961.2 14433.2 15104.2

几种选址方案下居民最终缴税总时间之和 表 7 几种选址方案下居民最终缴税总时间之和

7.3 问题三 . 我们穷举出所有可能的情况,比较发现将缴税点 15 迁移至 5 时,总时间最小。当将 15 迁移至 5 时, 根据我们的模型,得出的结果是渐进稳定的。稳定情况下居民缴税总时间之和为 12688.4 缴税点 2 5 6 13 人数来源 2、3、9、10 1、5、7、8 4、6、15、16、17、18 11、12、13、14
表 8 将缴税点从 15 迁移至 5 时的人数分布情况

总人数 152 158 143 111

实际上在本模型中我们只统计了前 50 次的结果,在 50 次内,居民对缴税点的选择是变化的,但是可 以看出这种选择趋于一种稳定情况。根据前 50 次的数据统*峁颐强梢酝贫铣鲈诤芏啻魏螅伤 站从 15 迁移到 5 后,居民的选择最终会趋于上表的情况。并且从上面的表中我们可以发现,人数分布非 常均衡。所以如果要迁移一个缴税点,将缴税点 15 迁移到 5 为最佳选择。 7. 4 问题四 穷举出所有可能的情况:

新设缴税点 1 3 4 5 7 8 9 10 11 12 14 16 17 18

wt j (k )
11765.4 12967.6 12222.4 11115.7 12777.8 12878.7 12898.7 13879.7 14347.7 13254.2 14072.2 14301.9 14369.9 13217.9

几种选址方案下居民最终缴税总时间之和 表 9 几种选址方案下居民最终缴税总时间之和

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从上述表格中可以看出如果新加一缴税点,将新缴税点设置在 5 处时总时间之和最小。 当将新缴税点设置在 5 处时,人数分布图: 缴税点 2 5 6 13 15 缴税点人数来源 2、3、9、10 1、5、7、8 4、6、18 11、12、13、14 15、16、17
将新缴税点 缴税点设置在 表 10 将新缴税点设置在 5 处时人数分布表

人数量 152 158 98 111 45

在5处新增缴费点的人数分布

8% 27% 20% 缴费点2 缴费点5 缴费点6 缴费点13 缴费点15

17%

28%

将新缴税点 缴税点设置在 图 6 将新缴税点设置在 5 处时人数分布图

可以看出人数分布比较合理,各缴税点人数分布相对均衡。并且居民的选择从第二次开始以后就趋于 稳定,不再发生改变。所以若要新加一缴税点,应该将其设置在 5 处。 8、 模型优缺点及改进 、 模型优缺点及改进 优点: 优点: (1) 将所有数据公式化,给出了判别设计方案好坏的指标,从而当部分数据变动时,便于计算,具有一定 的普适性。 (2) 在评价选址的合理性时,给出了多个评价标准,贴切实际。 (3) 通过两种模型分析问题,结果更具有说服力。 缺点: 缺点: (1) 没有考虑居民在选择缴税点时的随机性。 事实上, 同一聚居区内的居民不一定选择相同的缴税点缴税。 可以考虑对模型进行改进,认为每个居民可能选择前往几个缴税点中的任意一个办理业务,选择某一 缴税点的概率与路程成反比。 (2) 模型二中的参数需要实际调查,获得更多信息,才能够确定,如居民的出行方式等,不够简化。 (3) 我们提出的两个模型都假设各缴税点规模相同。实际情况下,各缴税点规模未必相同。如果在模型一 的基础上,考虑将本区域内各缴税点的服务窗口和员工数目统一调配,按照各不同缴税点所需服务的 居民数目相对比例合理配置,即可用路程和最短作为选址合理的唯一标准。这将最大程度地方便本区 域内居民的缴税事务。

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参考文献
[1] [2] [3] [4] [5] 刘来福,杨淳,黄海洋.数学建模方法与分析[M].机械工业出版社,2005年6月. 方磊,何健敏.应急系统优化选址的模型及其算法[J].系统工程学报,2003年2月,第18卷第1期. 陈东彦,李冬梅,王树忠.数学建模[M],北京,科学出版社,2007. 史哲元.浅议连锁店的选址分析[J].经济问题,1998,6:56-58 殷人昆.数据结构[M].清华大学出版社,2007年6月

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附件:主要程序代码( 附件:主要程序代码(c++) ) class point { public: int * distance; int belong; int people; point(); ~point(); };

//与其他结点的距离向量 //所属的缴税点 //人数 //构造函数 //析构函数

point::point() { distance=new int[19]; hate=0; } point::~point() { delete[] distance; } int caldis(point * p,int * set) //p是18个位置结点的向量,set内为个缴税点所在位置,用这个算法来计算给 定四个位置作为缴税点时的总路程 { int i; int j; int td; int alldis=0; for(i=1;i<=18;i++) { td=100000; for(j=1;j<=4;j++) { if(p[i].distance[set[j]]<td) { td=p[i].distance[set[j]]; p[i].belong=set[j]; } } } for(i=1;i<=18;i++) {

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alldis+=p[i].people*(p[i].distance[p[i].belong]); } return alldis; } void floyd(int a[][19],int path[][19]) //用Floyd算法计算各点之间的最小路程 { int i,j,k,n=19; for(i=1;i<n;i++) { for(j=1;j<n;j++) { a[i][j]=path[i][j]; } } for(k=1;k<n;k++) { for(i=1;i<n;i++) { for(j=1;j<n;j++) { if(a[i][k]+a[k][j]<a[i][j]) a[i][j]=a[i][k]+a[k][j]; } } } }

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