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2016年湖南省长沙市南苑中学中考数学模拟试卷含答案解析

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2016 年湖南省长沙市南苑中学中考数学模拟试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1.给出四个数 0, A.0 B. C. ,﹣1,其中最小的是( D.﹣1 ) D. ) )

2.下列图形中是轴对称图形的是( A. B. C.

3.将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示) ,它的主视图是(

A.

B.

C.

D.

4.下面是一位同学做的四道题:①2a+3b=5ab;②(3a3)2=6a6;③a6÷a2=a3;④a2?a3=a5, 其中做对的一道题的序号是( ) A.① B.② C.③ D.④ 5.今年清明节期间,我市共接待游客 48.6 万人次,旅游收入 218 000 000 元.数据 218 000 000 用科学记数法表示为( ) A.2.18×108 B.0.218×109 C.2.2×108 D.2.2×109 6. 抛物线 y=x2 先向右*移 1 个单位, 再向上*移 3 个单位, 得到新的抛物线解析式是 ( 2 2 2 2 A.y=(x+1) +3 B.y=(x+1) ﹣3 C.y=(x﹣1) ﹣3 D.y=(x﹣1) +3 7.下列说法属于不可能事件的是( ) A.四边形的内角和为 360°B.对角线相等的菱形是正方形 C.内错角相等 D.存在实数 x 满足 x2+1=0 8.如图,A,B,C,D 为⊙O 上四点,若∠BOD=110°,则∠A 的度数是( ) )

A.110° B.115° C.120° D.125° 9.二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的坐标满足下表: … … x 0 1 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … … y ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11
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则该函数图象的顶点坐标为( ) A. (﹣3,﹣3) B. (﹣2,﹣2) C. (﹣1,﹣3) D. (0,﹣6) 10.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是( ) A.矩形 B.等腰梯形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 11.正六边形的边心距为 ,则该正六边形的边长是( ) A. B.2 C.3 D.2 12.已知:在△ ABC 中,BC=10,BC 边上的高 h=5,点 E 在边 AB 上,过点 E 作 EF∥BC, 交 AC 边于点 F.点 D 为 BC 上一点,连接 DE、DF.设点 E 到 BC 的距离为 x,则△ DEF 的面积 S 关于 x 的函数图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分) 13.因式分解 2x2﹣8xy+8y2= . 14.如图,边长为 1 的小正方形网格中,⊙O 的圆心在格点上,则∠AED 的余弦值 是 .

15.如图,四边形 ABCD 为矩形,添加一个条件:

,可使它成为正方形.

16.若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x+1=0 有实数根,则 k 的取值范围是 . 17.综合实践课上,小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度,把一面镜子放在与假山 AC 距离为 21 米的 B 处,然后沿着射线 CB 退后到点 E,这时恰好在镜子里看到山头 A,利 用皮尺测量 BE=2.1 米.若小宇的身高是 1.7 米,则假山 AC 的高度为 .

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18.用半径为 2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面半径是 三、解答题: (本大题 2 个小题,每小题 6 分,共 12 分) 19.计算: 20.先化简,再求值: ÷(x+1﹣ . ) ,其中 x=3.



四、解答题: (本大题 2 个小题,每小题 8 分,共 16 分) 21. 为了解中考体育科目训练情况, 长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了 一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级:A 级:优秀;B 级:良好;C 级:及格; D 级:不及格) ,并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解 答下列问题: (1)本次抽样测试的学生人数是 ; (2)图 1 中∠α 的度数是 ,并把图 2 条形统计图补充完整; (3)若全市九年级有学生 35000 名,如果全部参加这次中考体育科目测试,请估计不及格 的人数为 . (4)测试老师想从 4 位同学(分别记为 E、F、G、H,其中 E 为小明)中随机选择两位同 学了解*时训练情况,请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率.

22.如图,△ ABC 中,∠BCA=90°,CD 是边 AB 上的中线,分别过点 C,D 作 BA 和 BC 的*行线,两线交于点 E,且 DE 交 AC 于点 O,连接 AE. (1)求证:四边形 ADCE 是菱形; (2)若∠B=60°,BC=6,求四边形 ADCE 的面积.

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五、解答题: (本大题 2 个小题,每小题 9 分,共 18 分) 23. 某校为美化校园, 计划对面积为 1800m2 的区域进行绿化, 安排甲、 乙两个工程队完成. 已 知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2 倍, 并且在独立完成面积为 400m2 区域的绿化时,甲队比乙队少用 4 天. (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 m2? (2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为 0.4 万元,乙队为 0.25 万元,要使这次的绿化总 费用不超过 8 万元,至少应安排甲队工作多少天? 24.如图,在△ ABC 中,CA=CB,以 BC 为直径的圆⊙O 交 AC 于点 G,交 AB 于点 D, 过点 D 作⊙O 的切线,交 CB 的延长线于点 E,交 AC 于点 F. (1)求证:DF⊥AC. (2)如果⊙O 的半径为 5,AB=12,求 cos∠E.

六、解答题: (本大题 2 个小题,每小题 10 分,共 20 分) 25.定义:若函数 y1 与 y2 同时满足下列两个条件: ①两个函数的自变量 x,都满足 a≤x≤b; ②在自变量范围内对于任意的 x1 都存在 x2, 使得 x1 所对应的函数值 y1 与 x2 所对应的函数 值 y2 相等. 我们就称 y1 与 y2 这两个函数为“兄弟函数”. 设函数 y1=x2﹣2x﹣3,y2=kx﹣1 (1)当 k=﹣1 时,求出所有使得 y1=y2 成立的 x 值; (2)当 1≤x≤3 时判断函数 y1= 与 y2=﹣x+5 是不是“兄弟函数”,并说明理由; (3)已知:当﹣1≤x≤2 时函数 y1=x2﹣2x﹣3 与 y2=kx﹣1 是“兄弟函数”,试求实数 k 的取值 范围? 26.如图,⊙E 的圆心 E(3,0) ,半径为 5,⊙E 与 y 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的上方) ,与 x 轴的正半轴交于点 C,直线 l 的解析式为 y= x+4,与 x 轴相交于点 D,以点 C 为顶点的抛物线过点 B. (1)求抛物线的解析式; (2)判断直线 l 与⊙E 的位置关系,并说明理由; (3)动点 P 在抛物线上,当点 P 到直线 l 的距离最小时.求出点 P 的坐标及最小距离.
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2016 年湖南省长沙市南苑中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1.给出四个数 0, A.0 B. C. ,﹣1,其中最小的是( D.﹣1 )

【考点】实数大小比较. 【分析】正实数都大于 0,负实数都小于 0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大 的反而小,据此判断即可. 【解答】解:根据实数比较大小的方法,可得 ﹣1<0< ∴四个数 0, 故选:D. 2.下列图形中是轴对称图形的是( A. B. C. ) D. , ,﹣1,其中最小的是﹣1.

【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可. 【解答】解:A、是轴对称图形,故正确; B、是轴对称图形,故正确; C、不是轴对称图形,故错误; D、不是轴对称图形,故错误. 故选:A、B. 3.将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示) ,它的主视图是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单组合体的三视图. 【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 【解答】解:从正面看易得主视图为长方形,中间有两条垂直地面的虚线.
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故选 A. 4.下面是一位同学做的四道题:①2a+3b=5ab;②(3a3)2=6a6;③a6÷a2=a3;④a2?a3=a5, 其中做对的一道题的序号是( ) A.① B.② C.③ D.④ 【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【分析】①根据合并同类项,可判断①, ②根据积的乘方,可得答案; ③根据同底数幂的除法,可得答案; ④根据同底数幂的乘法,可得答案. 【解答】解:①不是同类项不能合并,故①错误; ②积的乘方等于乘方的积,故②错误; ③同底数幂的除法底数不变指数相减,故③错误; ④同底数幂的乘法底数不变指数相加,故④正确; 故选:D. 5.今年清明节期间,我市共接待游客 48.6 万人次,旅游收入 218 000 000 元.数据 218 000 000 用科学记数法表示为( ) 8 9 A.2.18×10 B.0.218×10 C.2.2×108 D.2.2×109 【考点】科学记数法—表示较大的数. 【分析】根据科学记数法的表示方法:a×10n,可得答案. 【解答】解:218 000 000 用科学记数法表示为 2.18×108, 故选:A. 6. 抛物线 y=x2 先向右*移 1 个单位, 再向上*移 3 个单位, 得到新的抛物线解析式是 ( ) 2 2 2 2 A.y=(x+1) +3 B.y=(x+1) ﹣3 C.y=(x﹣1) ﹣3 D.y=(x﹣1) +3 【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可. 【解答】解:由“左加右减”的原则可知,抛物线 y=x2 向右*移 1 个单位所得抛物线的解析 式为:y=(x﹣1)2; 由“上加下减”的原则可知,抛物线 y=(x﹣1)2 向上*移 3 个单位所得抛物线的解析式为: y=(x﹣1)2+3. 故选 D. 7.下列说法属于不可能事件的是( ) A.四边形的内角和为 360°B.对角线相等的菱形是正方形 C.内错角相等 D.存在实数 x 满足 x2+1=0 【考点】随机事件. 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可. 【解答】解:四边形的内角和为 360°是必然事件,A 错误; 对角线相等的菱形是正方形是必然事件,B 错误; 内错角相等是随机事件,C 错误; 存在实数 x 满足 x2+1=0 是不可能事件, 故选:D.
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8.如图,A,B,C,D 为⊙O 上四点,若∠BOD=110°,则∠A 的度数是(



A.110° B.115° C.120° D.125° 【考点】圆周角定理;圆内接四边形的性质. 【分析】由 A,B,C,D 为⊙O 上四点,若∠BOD=110°,根据在同圆或等圆中,同弧或等 弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠C 的度数,又由圆的 内接四边形的性质定理,即可求得答案. 【解答】解:∵A,B,C,D 为⊙O 上四点,∠BOD=110°, ∴∠C= ∠BOD=55°, ∴∠A=180°﹣∠C=125°. 故选 D. 9.二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的坐标满足下表: … … x 0 1 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … … y ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 则该函数图象的顶点坐标为( ) A. (﹣3,﹣3) B. (﹣2,﹣2) C. (﹣1,﹣3) D. (0,﹣6) 【考点】二次函数的性质. 【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴,然后解答即可. 【解答】解:∵x=﹣3 和﹣1 时的函数值都是﹣3 相等, ∴二次函数的对称轴为直线 x=﹣2, ∴顶点坐标为(﹣2,﹣2) . 故选:B. 10.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是( A.矩形 B.等腰梯形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 )

【考点】中点四边形. 【分析】首先根据题意画出图形,由四边形 EFGH 是菱形,点 E,F,G,H 分别是边 AD, AB,BC,CD 的中点,利用三角形中位线的性质与菱形的性质,即可判定原四边形一定是 对角线相等的四边形. 【解答】解:如图,根据题意得:四边形 EFGH 是菱形,点 E,F,G,H 分别是边 AD, AB,BC,CD 的中点, ∴EF=FG=GH=EH,BD=2EF,AC=2FG, ∴BD=AC. ∴原四边形一定是对角线相等的四边形.
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故选:C.

11.正六边形的边心距为 A. B.2 C.3

,则该正六边形的边长是( D.2



【考点】正多边形和圆;勾股定理. 【分析】运用正六边形的性质,正六边形边长等于外接圆的半径,再利用勾股定理解决. 【解答】解:∵正六边形的边心距为 , ∴OB= ,AB= OA,

∵OA2=AB2+OB2, ∴OA2=( OA)2+( 解得 OA=2. 故选:B. )2 ,

12.已知:在△ ABC 中,BC=10,BC 边上的高 h=5,点 E 在边 AB 上,过点 E 作 EF∥BC, 交 AC 边于点 F.点 D 为 BC 上一点,连接 DE、DF.设点 E 到 BC 的距离为 x,则△ DEF 的面积 S 关于 x 的函数图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】动点问题的函数图象. 【分析】判断出△ AEF 和△ ABC 相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出 EF,再根据 三角形的面积列式表示出 S 与 x 的关系式,然后得到大致图象选择即可. 【解答】解:∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC,
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=

, ?10=10﹣2x, ,

∴EF=

∴S= (10﹣2x)?x=﹣x2+5x=﹣(x﹣ )2+ ∴S 与 x 的关系式为 S=﹣(x﹣ )2+ 纵观各选项,只有 D 选项图象符合. 故选:D.

(0<x<5) ,

二、填空题(共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分) 13.因式分解 2x2﹣8xy+8y2= 2(x﹣2y)2 . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】首先提取公因式 2,进而利用完全*方公式分解因式即可. 【解答】解:2x2﹣8xy+8y2 =2(x2﹣4xy+4y2) =2(x﹣2y)2. 故答案为:2(x﹣2y)2.

14. ⊙O 的圆心在格点上, 如图, 边长为 1 的小正方形网格中, 则∠AED 的余弦值是



【考点】圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数的定义. 【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED,在直角三角形 ABC 中,利用锐 角三角函数定义求出 cos∠ABC 的值,即为 cos∠AED 的值. 【解答】解:∵∠AED 与∠ABC 都对 , ∴∠AED=∠ABC, 在 Rt△ ABC 中,AB=2,AC=1, 根据勾股定理得:BC= , 则 cos∠AED=cos∠ABC= 故答案为: = .

15.如图,四边形 ABCD 为矩形,添加一个条件: AB=AD ,可使它成为正方形.

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【考点】正方形的判定. 【分析】由四边形 ABCD 是矩形,根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形 是正方形,即可求得答案. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴当 AB=AD 或 AC⊥BD 时,矩形 ABCD 是正方形. 故答案为:AB=AD. 16.若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x+1=0 有实数根,则 k 的取值范围是 k≤1 且 k≠0 . 【考点】根的判别式. 【分析】 根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围, 进而可以得到关于 k 的不等 式,解得即可,同时还应注意二次项系数不能为 0. 【解答】解:∵关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x+1=0 有实数根, ∴△=b2﹣4ac≥0, 即:4﹣4k≥0, 解得:k≤1, ∵关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x+1=0 中 k≠0, 故答案为:k≤1 且 k≠0. 17.综合实践课上,小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度,把一面镜子放在与假山 AC 距离为 21 米的 B 处,然后沿着射线 CB 退后到点 E,这时恰好在镜子里看到山头 A,利 用皮尺测量 BE=2.1 米.若小宇的身高是 1.7 米,则假山 AC 的高度为 17 米 .

【考点】相似三角形的应用. 【分析】 因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面, 所以构成两个 相似三角形,利用相似比可求出假山 AC 的高度. 【解答】解:∵DE⊥EC,AC⊥EC, ∴∠DEB=∠ACB=90°, ∵∠DBE=∠ABC ∴△DEB∽△ACB, ∴DE:AC=BE:BC, 又∵DE=1.7 米,BE=2.1 米,BC=21 米, ∴1.7:AC=2.1:21, ∴AC=17 米, 故答案为:17 米.
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18.用半径为 2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面半径是 1cm . 【考点】圆锥的计算. 【分析】首先求得扇形的弧长,即圆锥的底面周长,然后根据圆的周长公式即可求得半径. 【解答】解:圆锥的底面周长是:2πcm, 设圆锥的底面半径是 r,则 2πr=2π, 解得:r=1. 故答案是:1cm. 三、解答题: (本大题 2 个小题,每小题 6 分,共 12 分) 19.计算: .

【考点】实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算,第二项利用负整数指数幂法则计算,第 三项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用立方根定义计算即可得到结果. 【解答】解:原式= = . × +4+ ﹣1﹣4

20.先化简,再求值:

÷(x+1﹣

) ,其中 x=3.

【考点】分式的化简求值. 【分析】先把括号内通分,再把分子分解因式,接着把除法运算化为乘法运算,然后约分后 得到原式= ,再把 x=3 代入计算即可. ÷

【解答】解:原式= = = ? ,

当 x=3 时,原式=

= .

四、解答题: (本大题 2 个小题,每小题 8 分,共 16 分) 21. 为了解中考体育科目训练情况, 长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了 一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级:A 级:优秀;B 级:良好;C 级:及格; D 级:不及格) ,并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解 答下列问题: (1)本次抽样测试的学生人数是 40 ; (2)图 1 中∠α 的度数是 54° ,并把图 2 条形统计图补充完整; (3)若全市九年级有学生 35000 名,如果全部参加这次中考体育科目测试,请估计不及格 的人数为 7000 .

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(4)测试老师想从 4 位同学(分别记为 E、F、G、H,其中 E 为小明)中随机选择两位同 学了解*时训练情况,请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率.

【考点】列表法与树状图法;用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图. 【分析】 (1)由统计图可得:B 级学生 12 人,占 30%,即可求得本次抽样测试的学生人数; (2)由 A 级 6 人,可求得 A 级占的百分数,继而求得∠α 的度数;然后由 C 级占 35%,可 求得 C 级的人数,继而补全统计图; (3)首先求得 D 级的百分比,继而估算出不及格的人数; (4)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况, 再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解: (1)本次抽样测试的学生人数是: 故答案为:40; =40(人) ;

(2)根据题意得:∠α=360°×

=54°,

C 级的人数是:40﹣6﹣12﹣8=14(人) , 如图: (3)根据题意得: 35000× =7000(人) ,

答:不及格的人数为 7000 人. 故答案为:7000; (4)画树状图得:

∵共有 12 种情况,选中小明的有 6 种,

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∴P(选中小明)=

= .

22.如图,△ ABC 中,∠BCA=90°,CD 是边 AB 上的中线,分别过点 C,D 作 BA 和 BC 的*行线,两线交于点 E,且 DE 交 AC 于点 O,连接 AE. (1)求证:四边形 ADCE 是菱形; (2)若∠B=60°,BC=6,求四边形 ADCE 的面积.

【考点】菱形的判定与性质;勾股定理. 【分析】 (1)欲证明四边形 ADCE 是菱形,需先证明四边形 ADCE 为*行四边形,然后再 证明其对角线相互垂直; (2)根据勾股定理得到 AC 的长度,由含 30 度角的直角三角形的性质求得 DE 的长度,然 后由菱形的面积公式:S= AC?DE 进行解答. 【解答】 (1)证明:∵DE∥BC,EC∥AB, ∴四边形 DBCE 是*行四边形. ∴EC∥DB,且 EC=DB. 在 Rt△ ABC 中,CD 为 AB 边上的中线, ∴AD=DB=CD. ∴EC=AD. ∴四边形 ADCE 是*行四边形. ∴ED∥BC. ∴∠AOD=∠ACB. ∵∠ACB=90°, ∴∠AOD=∠ACB=90°. ∴*行四边形 ADCE 是菱形; (2)解:Rt△ ABC 中,CD 为 AB 边上的中线,∠B=60°,BC=6,
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∴AD=DB=CD=6. ∴AB=12,由勾股定理得 . ∵四边形 DBCE 是*行四边形, ∴DE=BC=6. ∴ .

五、解答题: (本大题 2 个小题,每小题 9 分,共 18 分) 23. 某校为美化校园, 计划对面积为 1800m2 的区域进行绿化, 安排甲、 乙两个工程队完成. 已 2 知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 倍, 并且在独立完成面积为 400m2 区域的绿化时,甲队比乙队少用 4 天. (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 m2? (2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为 0.4 万元,乙队为 0.25 万元,要使这次的绿化总 费用不超过 8 万元,至少应安排甲队工作多少天? 【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用. 【分析】 (1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x(m2) ,根据在独立完成面积为 400m2 区域的绿化时,甲队比乙队少用 4 天,列出方程,求解即可; (2)设应安排甲队工作 y 天,根据这次的绿化总费用不超过 8 万元,列出不等式,求解即 可. 【解答】解: (1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x(m2) ,根据题意得: ﹣ =4,

解得:x=50, 经检验 x=50 是原方程的解, 则甲工程队每天能完成绿化的面积是 50×2=100(m2) , 答:甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2、50m2; (2)设应安排甲队工作 y 天,根据题意得: 0.4y+ ×0.25≤8,

解得:y≥10, 答:至少应安排甲队工作 10 天. 24.如图,在△ ABC 中,CA=CB,以 BC 为直径的圆⊙O 交 AC 于点 G,交 AB 于点 D, 过点 D 作⊙O 的切线,交 CB 的延长线于点 E,交 AC 于点 F. (1)求证:DF⊥AC. (2)如果⊙O 的半径为 5,AB=12,求 cos∠E.

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【考点】切线的性质. 【分析】 (1)首先连接 OD,由 CA=CB,OB=OD,易证得 OD∥AC,又由 DF 是⊙O 的切 线,即可证得结论; (2)首先连接 BG,CD,可求得 CD 的长,然后由 AB?CD=2S△ ABC=AC?BG,求得 BG 的 长,易证得 BG∥EF,即可得 cos∠E=cos∠CBG= 【解答】 (1)证明:连接 OD, ∵CA=CB,OB=OD, ∴∠A=∠ABC,∠ABC=∠ODB, ∴∠A=∠ODB, ∴OD∥AC, ∵DF 是⊙O 的切线, ∴OD⊥DF, ∴DF⊥AC. (2)解:连接 BG,CD. ∵BC 是直径, ∴∠BDC=90°, ∵CA=CB=10, ∴AD=BD= AB= ×12=6, ∴CD= =8. .

∵AB?CD=2S△ ABC=AC?BG, ∴BG= = .

∵BG⊥AC,DF⊥AC, ∴BG∥EF. ∴∠E=∠CBG, ∴cos∠E=cos∠CBG= = .

六、解答题: (本大题 2 个小题,每小题 10 分,共 20 分) 25.定义:若函数 y1 与 y2 同时满足下列两个条件: ①两个函数的自变量 x,都满足 a≤x≤b; ②在自变量范围内对于任意的 x1 都存在 x2, 使得 x1 所对应的函数值 y1 与 x2 所对应的函数 值 y2 相等. 我们就称 y1 与 y2 这两个函数为“兄弟函数”.
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设函数 y1=x2﹣2x﹣3,y2=kx﹣1 (1)当 k=﹣1 时,求出所有使得 y1=y2 成立的 x 值; (2)当 1≤x≤3 时判断函数 y1= 与 y2=﹣x+5 是不是“兄弟函数”,并说明理由; (3)已知:当﹣1≤x≤2 时函数 y1=x2﹣2x﹣3 与 y2=kx﹣1 是“兄弟函数”,试求实数 k 的取值 范围? 【考点】一次函数综合题. 【分析】 (1)将 k=﹣1 代入一次函数,与二次函数联立方程组,求出方程组的解即为 x 的 值; (2)假设两个函数是兄弟函数,联立方程组,求出 x 的值,判断 x 值是否符合相应取值范 围,经过判断,两个函数不是兄弟函数; (3)利用兄弟函数的定义,联立函数解析式,求出 x 的值,然后将 x 的值带入 x 的取值范 围,得到一个不等式组,解不等式组即可. 【解答】解: (1)当 k=﹣1 时,y2=﹣x﹣1, 根据题意得:x2﹣2x﹣3=﹣x﹣1, 解得:x=2 或 x=﹣1; ∴x 的 值为 2 或﹣1. (2)不是 若 =﹣x+5, 则 x2﹣5x+3=0, 解得:x= ∵3< ∴4< <4 < , < <1, ,

两根均不在 1≤x≤3, ∴函数 y1= 与 y2=﹣x+5 不是“兄弟函数”. (3)∵函数 y1=x2﹣2x﹣3 与 y2=kx﹣1 是“兄弟函数”, ∴x2﹣2x﹣3=kx﹣1, 整理得:x2﹣(2+k)x﹣2=0, 解得:x= ,

∵﹣1≤x≤2 时函数 y1=x2﹣2x﹣3 与 y2=kx﹣1 是“兄弟函数”, ∴﹣1≤ 解得:k≤﹣3, 或 1≤ ≤2,
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≤2,

解得:k≥﹣1. ∴实数 k 的取值范围:k≤﹣3 或 k≥﹣1. 26.如图,⊙E 的圆心 E(3,0) ,半径为 5,⊙E 与 y 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的上方) ,与 x 轴的正半轴交于点 C,直线 l 的解析式为 y= x+4,与 x 轴相交于点 D,以点 C 为顶点的抛物线过点 B. (1)求抛物线的解析式; (2)判断直线 l 与⊙E 的位置关系,并说明理由; (3)动点 P 在抛物线上,当点 P 到直线 l 的距离最小时.求出点 P 的坐标及最小距离.

【考点】二次函数综合题. 【分析】 (1)连接 AE,由已知得:AE=CE=5,OE=3,利用勾股定理求出 OA 的长,结合 垂径定理求出 OC 的长,从而得到 C 点坐标,进而得到抛物线的解析式; (2)求出点 D 的坐标为(﹣ ,0) ,根据△ AOE∽△DOA,求出∠DAE=90°,判断出直

线 l 与⊙E 相切与 A. (3)过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ,垂足为 Q,过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴,交直线 l 于 点 M.设 M(m, =


m+4) ,P(m,﹣ (m﹣2)2+

m2+m﹣4) ,得到 PM= m+4﹣(﹣

m2+m﹣4)

m2﹣ m+8=

,根据△ PQM 的三个内角固定不变,得到 PQ 最小=PM 最 × = ,从而得到最小距离.

?sin∠QMP=PM 最小?sin∠AEO=

【解答】解: (1)如图 1,连接 AE,由已知得:AE=CE=5,OE=3, 在 Rt△ AOE 中,由勾股定理得,OA= ∵OC⊥AB, ∴由垂径定理得,OB=OA=4, OC=OE+CE=3+5=8, ∴A(0,4) ,B(0,﹣4) ,C(8,0) , ∵抛物线的顶点为 C, ∴设抛物线的解析式为 y=a(x﹣8)2, 将点 B 的坐标代入上解析的式,得 64a=﹣4,故 a=﹣ , = =4,

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∴y=﹣ ∴y=﹣

(x﹣8)2, x2+x﹣4 为所求抛物线的解析式,

(2)在直线 l 的解析式 y= x+4 中,令 y=0,得 x+4=0,解得 x=﹣ ∴点 D 的坐标为(﹣ ,0) ,



当 x=0 时,y=4, ∴点 A 在直线 l 上, 在 Rt△ AOE 和 Rt△ DOA 中, ∵ ∴ = , = , = ,

∵∠AOE=∠DOA=90°, ∴△AOE∽△DOA, ∴∠AEO=∠DAO, ∵∠AEO+∠EAO=90°, ∴∠DAO+∠EAO=90°,即∠DAE=90°,因此,直线 l 与⊙E 相切与 A. (3)如图 2,过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ,垂足为 Q,过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴,交 直线 l 于点 M. 设 M(m, m+4) ,P(m,﹣ m2+m﹣4)= , m2+m﹣4) ,则 m2﹣ m+8= (m﹣2)2+ ,

PM= m+4﹣(﹣

当 m=2 时,PM 取得最小值 此时,P(2,﹣ ) ,

对于△ PQM, ∵PM⊥x 轴, ∴∠QMP=∠DAO=∠AEO, 又∠PQM=90°, ∴△PQM 的三个内角固定不变, ∴在动点 P 运动的过程中,△ PQM 的三边的比例关系不变, ∴当 PM 取得最小值时,PQ 也取得最小值, PQ 最小=PM 最小?sin∠QMP=PM 最小?sin∠AEO= × = , .

∴当抛物线上的动点 P 的坐标为 (2, ﹣ ) 时, 点 P 到直线 l 的距离最小, 其最小距离为

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2016 年 6 月 14 日

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