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2019-2020学年高中数学 第二章 平面解析几何初步章末过关检测卷 苏教版必修2.doc

2019-2020 学年高中数学 第二章 平面解析几何初步章末过关检测 卷 苏教版必修 2
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若直线过点(1,2),(4,2+ 3),则此直线的倾斜角是(A) A.30° B.45° C.60° D.90°

2+ 3-2 3 解析:直线斜率为 k= = ,故倾斜角为 30°. 4-1 3

2.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该定点的坐标为(A) A.(-2,1) B.(2,1) C.(1,-2) D.(1,2)

解析:直线 mx-y+2m+1=0 可化为 (x+2)m+1-y=0, 令?
? ?x+2=0, ? ?x=-2, 得? ?1-y=0, ? ?y=1. ?

3.过点(3,4)且与两点(4,-2)、(-2,2)等距离的直线方程是(C) A.2x+3y-18=0 和 2x+y-2=0 C.2x+3y-18=0 和 2x-y-2=0 B.3x-2y+18=0 和 x+2y+2=0 D.3x-2y+28=0 和 2x-y-2=0

4.(2013·重庆卷)设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上的动 点,则|PQ|的最小值为(B) A.6 B.4 C.3 D.2

5.(2013·陕西卷)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的 位置关系是(B) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

6.空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于 x 轴的对称点的坐标是(B) A.(-2,1,-4) B.(-2,-1,-4) C.(2,-1,4) D.(2,1,-4)

7.(2014·安徽卷)过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,则直线 l

的倾斜角的取值范围是(D)

? π? A.?0, ? 6? ? ? π? C.?0, ? 6? ?

? π? B.?0, ? 3? ? ? π? D.?0, ? 3? ?

解析:利用数形结合思想及圆的几何性质求解.

方法一 如图,过点 P 作圆的切线 PA,PB,切点为 A,B.由题意知|OP|=2,OA=1,则 1 ? π? sin a= ,所以 a=30°,∠BPA=60°.故直线 l 的倾斜角的取值范围是?0, ?.故选 D. 3? 2 ? | 3k-1| 方法二 设过点 P 的直线方程为 y=k(x+ 3)-1, 则由直线和圆有公共点知 1+k2 ≤1.

? π? 解得 0≤k≤ 3.故直线 l 的倾斜角的取值范围是?0, ?. 3? ?
8.以 A(-2,-2)、B(-3,1)、C(3,5)、D(7,-7)为顶点的四边形是(D) A.正方形 B.矩形

C.平行四边形 D.梯形

9.(2013·广东卷)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第一象限的直线方程 是(A) A.x+y- 2=0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+ 2=0

10.(2013·天津卷)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与直线 ax -y+1=0 垂直,则 a=(C) 1 A.- B.1 2 1 C.2 D. 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在题中的横线上)

11.直线 5x+12y+13=0 与直线 10x+24y+5=0 的距离是________. |26-5| 解析: 把 5x+12y+13=0 化为 10x+24y+26=0, 由平行线之间的距离公式 d= 26 21 = . 26 21 答案: 26

π? ? 12.(2013·湖北卷)已知圆 O:x2+y2=5,直线 l:xcos θ +ysin θ =1?0<θ < ?. 2? ? 设圆 O 到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k,则 k=________. 解析:圆心 O 到直线 xcos θ +ysin θ =1 距离 d=1,即直线与圆相交.因为半径 r = 5>2,所以 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 4 个,所以 k=4. 答案:4

13.(2014·湖北卷)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长 度相等的四段弧,则 a2+b2=________.

解析:作出图象,数形结合解答. 依题意,不妨设直线 y=x+a 与单位圆相交于 A,B 两点,则∠AOB=90°,如图,此时

a=1,b=-1,满足题意,所以 a2+b2=2.
答案:2

14.(2013·四川卷)在平面直角坐标系内,到点 A(1,2)、B(1,5)、C(3,6)、D(7, -1)的距离之和最小的点的坐标是________. 解析:设平面上任一点 M,因为|MA|+|MC|≥|AC|,当且仅当 A,M,C 共线时取等号, 同理|MB|+|MD|≥|BD|,当且仅当 B,M,D 共线时取等号,连接 AC,BD 交于一点 M,若|MA| +|MC|+|MB|+|MD|最小,则点 M 为所求. 6-2 又 kAC= =2, 3-1 ∴直线 AC 的方程为 y-2=2(x-1),

即 2x-y=0.① 5-(-1) 又 kBD= =-1, 1-7 ∴直线 BD 的方程为 y-5=-(x-1), 即 x+y-6=0.②
? ? ?2x-y=0, ?x=2, 由①②得? ∴? ∴M(2,4). ?x+y-6=0, ? ?y=4. ?

答案:(2,4)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤) 15.(本小题满分 12 分)求经过 A(-2,3)、B(4,-1)的两点式方程,并把它化成点斜 式、斜截式、截距式和一般式.

y+1 x-4 解析:过 A、B 两点的直线方程是 = , 3+1 -2-4
2 点斜式为:y+1=- (x-4), 3 2 5 斜截式为:y=- x+ , 3 3 截距式为: + =1, 5 5 2 3 一般式为:2x+3y-5=0.

x y

16.(本小题满分 12 分)已知三条直线 l1:2x+3y+8=0,l2:x-y-1=0,l3:x+

ky=0 交于一点,求 k 的值.
? ?x-y-1=0, 解析:l1 与 l2 的相交,由? 得交点坐标为(-1,-2),此点在 l3 上, ?2x+3y+8=0, ?

1 故-1-2k=0,得 k=- . 2

17.(本小题满分 14 分)(2013·江西卷)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y =1 相切,求圆 C 的方程.

解析:如图,因为圆 C 经过坐标原点 O 和点 A(4,0),所以圆心必在线段 OA 的中垂线 上,所以圆心的横坐标为 2,设圆心坐标为 C(2,b),b<0,半径为 R. 3 因为圆与直线 y=1 相切,所以 R=1-b,且 b2+22=R2=(1-b)2.解得 b=- ,所以 2 2 3? ? ? 3? 5 ? 3? 25 圆心为?2,- ?,半径 R=1-b=1-?- ?= .所以圆的方程为(x-2)2+?y+ ? = . 2? 4 ? ? 2? 2 ? 2?

18.(本小题满分 14 分)已知实数 x,y 满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求 x+y 的最大 值和最小值. 解析:设 x+y=t,则直线 y=-x+t 与圆(x-3)2+ (y-3)2=6 有公共点. ∴ |3+3-t| ≤ 6. 2

∴6-2 3≤t≤6+2 3. 因此 x+y 最小值为 6-2 3,最大值为 6+2 3.

19. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 x2+y2-12x+32=0 的圆心 为 Q,过点 P(0,2),且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (1)求 k 的取值范围; → → → (2)是否存在常数 k,使得向量OA+OB与PQ共线?如果存在,求 k 的值;如果不存在, 请说明理由. 解析:(1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为 Q(6,0),过 P(0,2)且斜率 k 的直线方程为 y=kx+2,代入圆的方程得 x2+(kx+2)2-12x+32=0. 整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A,B 等价于Δ =[4(k-3)]2-4×36×(1+k2)=42×(- 3 ? 3 ? 8k2-6k)>0,解得- <k<0,即 k 的取值范围为?- ,0?. 4 ? 4 ? → → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则OA+OB=(x1+x2,y1+y2),由方程①得:

x1+x2=-

4(k-3) .② 1+k2

又 y1+y2=k(x1+x2)+4.③ → → → → 因为 P(0,2), Q(6,0),PQ=(6,-2).所以OA+OB与PQ共线等价于-2(x1+x2)=6(y1 3 ? 3 ? +y2),将②③代入上式,解得 k=- .而由(1)知 k∈?- ,0?,故没有符合题意的常数 k. 4 ? 4 ?

20.(本小题满分 14 分)(2013·四川卷)已知圆 C 的方程为 x2+(y-4)2=4,点 O 是坐 标原点.直线 l:y=kx 与圆 C 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; 2 1 1 (2)设 Q(m,n)是线段 MN 上的点,且 = + ,请将 n 表示为 m 的函数. |OQ|2 |OM|2 |ON|2 (1)解析:将 y=kx 代入 x2+(y-4)2=4 得 (1+k2)x2-8kx+12=0.(*) 由Δ =(-8k)2-4(1+k2)×12>0 得 k2>3.所以 k 的取值范围是(-∞, - 3)∪( 3, +∞). (2)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则 |OM|2=(1+k2)x21,|ON|2=(1+k2)x22. 又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2, 由 2 1 1 = + ,得 |OQ|2 |OM|2 |ON|2

2 1 1 = + , (1+k2)m2 (1+k2)x21 (1+k2)x22 即 2 1 1 (x1+x2)2-2x1x2 = + = . m2 x21 x22 x21x22

8k 12 由(*)知 x1+x2= ,x1x2= , 1+k2 1+k2 所以 m2= 36 n 36 , 因为点 Q 在直线上 l 上, 所以 k= , 代入 m2= 可得 5n2-3m2=36, 5k2-3 m 5k2-3

36 由 m2= 及 k2>3 得 0<m2<3,即 m∈(- 3,0)∪(0, 3).依题意,点 Q 在圆 C 内, 5k2-3 则 n>0,所以 n= 36+3m2 15m2+180 15m2+180 = .于是,n 与 m 的函数关系为 n= 5 5 5

[m∈(- 3,0)∪(0, 3)].




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