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高中数学必修四课时作业15:2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示_2.3.3 平面向量的坐标运算

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高中数学必修四课时作业 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 基础过关 1.给出下面几种说法: ①相等向量的坐标相同; ②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标; ③一个坐标对应于唯一的一个向量; ④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应. 其中正确说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故③错误. [答案] C 2.已知A→B=(5,-3),C(-1,3),C→D=2A→B,则点 D 坐标是( ) A.(11,9) B.(4,0) C.(9,3) D.(9,-3) [解析] 设 D(x,y),则(x+1,y-3)=(10,-6),∴x=9,y=-3,即点 D 的坐标是 (9,-3). [答案] D 3.已知向量 a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且 c=λ1a+λ2b,则 λ1,λ2 的值分别为( ) A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2 ?? λ1+2λ2=3, ?? λ1=-1, [解析] 由? 解得? ??2λ1+3λ2=4, ??λ2=2. [答案] D 4.在平行四边形 ABCD 中,若A→B=(2,4),A→C=(1,3),则A→D=________(用坐标表 示). [解析] A→D=A→C-A→B=(1,3)-(2,4)=(-1,-1). 1 高中数学必修四课时作业 [答案] (-1,-1) 5.已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量A→B同方向的单位向量为________. [解析] ∵A→B=(4,-1)-(1,3)=(3,-4), ∴与A→B同方向的单位向量为A→→B =??35,-45??. |AB| [答案] ??35,-45?? 6.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λa+μb(λ,μ∈R),求μλ的值. 解 以向量 a 和 b 的交点为原点建立平面直角坐标系,则 a=(-1,1),b=(6,2),c=(- 1,-3),根据 c=λa+μb?(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),有-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3, 解之得 λ=-2 且 μ=-12,故μλ=4. 2 高中数学必修四课时作业 7.已知点 A(3,-4)与 B(-1,2),点 P 在直线 AB 上,且|A→P|=2|P→B|,求点 P 的坐标. 解 设 P 点坐标为(x,y),|A→P|=2|P→B|. 当 P 在线段 AB 上时,A→P=2P→B. ∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), ?? x-3=-2-2x, ∴? 解得???x=31, ??y+4=4-2y, ??y=0. ∴P 点坐标为(13,0). 当 P 在线段 AB 延长线上时,A→P=-2P→B. ∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), ?? x-3=2+2x, ?? x=-5, ∴? 解得? ??y+4=-4+2y, ??y=8. 综上所述,点 P 的坐标为(13,0)或(-5,8). 能力提升 8.向量A→B=(7,-5),将A→B按向量 a=(3,6)平移后得向量A′→B′,则A′→B′的坐标 形式为( ) A.(10,1) B.(4,-11) C.(7,-5) D.(3,6) 3 高中数学必修四课时作业 [解析] A′→B′与A→B方向相同且长度相等, 故A′→B′=A→B=(7,-5). [答案] C 9.已知 a=( 3,1),若将向量-2a 绕坐标原点逆时针旋转 120°得到向量 b,则 b 的坐 标为( ) A.(0,4) B.(2 3,-2) C.(-2 3,2) D.(2,-2 3) [解析] ∵a=( 3,1),∴-2a=(-2 3,-2), 易知向量-2a 与 x 轴正半轴的夹角 α=150°(如图). 向量-2a 绕坐标原点逆时针旋转 120°得到向量 b,在第四象限,与 x 轴正半轴的夹角 β =30°,∴b=(2 3,-2),故选 B. [答案] B 10.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c=________(用 a,b 表示). ?? x+y=-1, [解析] 设 c=xa+yb,即(-1,2)=(x,x)+(y,-y)=(x+y,x-y),即? ??x-y=2, ?x=12, 解得??y=-32, 所以 c=12a-32b. [答案] 12a-32b 4 高中数学必修四课时作业 11 . 已 知 A( - 1 , - 2) , B(2,3) , C( - 2,0) , D(x , y) , 且 → AC = 2 → BD , 则 x+y= ________. [解析] ∵A→C=(-2,0)-(-1,-2)=(-1,2), B→D=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3), 又 2B→D=A→C,即(2x-4,2y-6)=(-1,2), ?? 2x-4=-1, ∴? 解得???x=32, ??2y-6=2, ??y=4, ∴x+y=121. [答案] 11 2 12.已知点 A(-1,2),B(2,8)及A→C=13A→B,D→A=-13B→A,求点 C,D 和C→D的坐标. 解 设点 C(x1,y1),D(x2,y2), 由题意可得A→C=(x1+1,y1-2),A→B=(3,6), D→A=(-1-x2,2-y2),B→A=(-3,-6). ∵A→C=13A→B,D→A=-13B→A, ∴(x1+1,y1-2)=13(3,6)=(1,2), (-1-x2,2-y2)=-13(-3,-6)=(1,2), ??x1+1



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