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上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第七章 最优控制

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第七章 最优控制系统

7.1 最优控制问题的提出
? 引入性能指标,评价系统的性能。
– 经典控制理论
? 系统分析、综合的特点:稳定性、过渡过程品质, 采用作图、定性方法,借助试探和试凑。 ? 不能满足复杂的控制工程问题,如非线性、带约束 条件

– 现代控制理论
? 对给定的系统,为使其有好的运行性能,应如何施 加控制 ? 引入性能指标,定量*蓝ㄏ低车男阅堋 ? 性能指标包含对系统的要求、系统的结构特点、经 济性、对状态和控制的限制等

最优控制问题就是对于给定的被控对象在 一些限制条件下,寻找控制规律,使所给 的性能指标极小(或极大)。
7.2 最优控制问题的提法 一、举例 例:雷达跟踪问题
雷达天线不断地跟踪目标,以测得目标的位置、 速度信息。现代大型雷达跟踪系统,需全面权衡 控制要求和代价。

天线绕轴转动的动态方程
?? ? I? ? ?? ? m
旋转角度 I:转动惯量 ?: 阻尼系数 ?:

m 控制力矩 :
要求天线在控制力矩的作用下,由初始时刻 的初始角和初始角速度( t ,? (t ) ? ? ,??(t ) ? ?? ), 转动到对准目标( t ,? (t ) ? ? ,??(t ) ? ?? )。(假 定目标作等速运动)
0 0 0 0 0

f

f

f

f

f

从控制要求和控制代价上提出系统的性能 指标。

1、快(完成控制所需的时间短)

J1 ? ?t dt ? t f ? t0
0

tf

2、好(避免构件的猛烈撞击,系统运动动能小)

J 2 ? ?t

tf
0

?2 (t )dt , ? ? 0 ?1? 1

3、省(控制力矩消耗的功率小)

J3 ? ?t ?2 mdt , ?2 ? 0
tf
0

综合考虑,选取系统的性能指标为

? J ? ?t (1 ? ?1? 2 (t ) ? ?2 m(t ) )dt
tf
0

从工程实现的角度,对控制力矩有一定的限制
m(t ) ? k , k ? 0

为使问题更清晰,假设 ? ? 0 ,再作变量代换
I x1 ? (? ? ? f ) k I ? ? x2 ? (? ? ? f ) k m u ? k

则雷达跟踪的控制问题可描述为

对被控系统,其状态方程为
?0 1 ? ?0 ? ? x?? ? x ? ?1 ? u ?0 0 ? ? ?

初始状态为 终端状态为 控制力矩 性能指标为

?I ? (? 0 ? ? f ) ? ?k x(t0 ) ? ? ? ? I (? ? ? ) ? ? ? f ?k 0 ? ? ?
x(t f ) ? 0

u ?1
2 J ? ?t (1 ? ?1 x2 ? ?2 u )dt tf
0

最优控制问题可表述为求满足控制约束条件 的控制,使系统由初始状态转移到终端状态, 使性能指标为最小。

二、 最优控制问题的一般提法 ? 对系统 x ? f ( x, u , t )
u (t ) ? ? ,: ? 允许控制集

目标集:g ( x(t f ), t f ) ? 0 性能指标函数为:

J [u(?)] ? ?[ x(t f ), t f ] ? ?t L[ x(t ), u(t ), t ]dt
tf
0

最优控制问题即为求满足控制约束的控制,使 系统由初始状态转移到目标集,使性能指标达 到极小。
J [u(?)] 是函数 u (t ) 的函数。
求解方法:变分法,极小值原理,动态规划法

三、线性定常系统二次型性能指标的最优控制
线性二次型(linear quadratic)最优控制问题简称LQ问题。 考虑线性连续定常系统的状态方程

? x ? Ax ? Bu y ? Cx
假设 z (t ) 为理想输出,维数与输出维数相同 定义误差向量 e(t ) ? z (t ) ? y (t ) 系统二次型性能指标为

t R 权函数 F , Q(t )为正半定实对称矩阵, (t )为正定实对称矩阵, f 固定,控制向量不受约束,要求确定最优控制,使系统性 能指标为最小。

1 1 t J ? eT (t f ) Fe(t f ) ? ?t f [eT (t )Q(t )e(t ) ? uT (t ) R(t )u (t )]dt 2 2 0

线性二次型最优控制问题(LQ问题)的实质 是用较小的控制能量来实现较小误差的最优控制, 从而达到能量和误差综合最优的目的。 线性二次型最优控制问题可归结为如下几种问题: (1)状态调节器问题

如果 C (t ) ? I , z (t ) ? 0
1 T 1 tf T J ? x (t f ) Fx(t f ) ? ?t [ x (t )Q(t ) x(t ) ? uT (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 0

(2)输出调节器问题 如果 z (t ) ? 0 1 1 t J ? yT (t f ) Fy(t f ) ? ?t f [ yT (t )Q(t ) y(t ) ? uT (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 0 (3)跟踪器问题 如果

C (t ) ? I , z (t ) ? 0

7、3 有限时间线性连续系统状态调节器问题
状态调节器问题的最优控制规律为

u (t ) ? ?K (t ) x(t ) ? ?R (t ) B P(t ) x(t )
* T

?1

最优性能指标为
J* ? 1 T x (t0 ) P(t0 ) x(t0 ) 2

P (t ) 满足下列黎卡提(Riccati)矩阵微分方程

? ?P(t ) ? P(t ) A ? A? P(t ) ? P(t ) BR?1(t )B? P(t ) ? Q(t )
边界条件 P(t f ) ? F 最优状态 x* (t ) 是下列状态方程的解

?(t ) ? [ A ? BR?1 (t ) P(t )]x(t ) , x(t0 ) ? x0 x

? ?

?

?

x
? ?

?

A

K ? ?R

?1

? P ?t ?
?

有限时间状态调节器最优控制系统结构图

状态反馈系统是一个时变系统!

例:设二阶系统的状态方程为
? ? x1 ? ?0 1 ? ? x1 ? ?0? ? x ? ? ?0 0 ? ? x ? ? ?1 ? u ?? 2? ? ? ? ?2 ? ?

性能指标为
1 2 1 3? 2 1 2 ? 2 2 J ? ? x1 (3) ? 2 x2 (3) ? ? ?0 ?2 x1 (t ) ? 4 x2 (t) ? 2 x1(t) x2 (t) ? u (t) ?dt ? 2 2? 2 ? ?


求最优控制 u (t ) ?0 1 ? ?0? 。 ?1 A? , ? ? F?
?0 0 ? ? ? ?1 ? ? ?

t0 ? 0, t f ? 3

0? ?2 1 ? 1 , Q?? , R? ?0 2? ? 2 ? ? ?1 4 ?


?

? p11 (t ) P ?t ? ? ? ? p21 (t )
?1 ?

p12 (t ) ? p22 (t ) ? ?

? p11 (t ) u ? t ? ? ?R B P ?t ? x ?t ? ? ?2 ?0 1? ? ? p21 (t ) ? ?2? p12 (t ) x1 (t ) ? p22 (t ) x2 (t )?

最优控制 u? (t ) 为

p12 (t ) ? ? x1 (t ) ? p22 (t ) ? ? x2 (t ) ? ?? ?

p12 (t )和 p22 (t )

是 黎卡提矩阵微分方程的解

? ? ? p11 (t ) p12 (t ) ? ? p11 (t ) p12 (t ) ? ?0 1 ? ?0 0? ? p11 (t ) p12 (t ) ? ? p (t ) p (t ) ? ? ? ? p (t ) p (t ) ? ?0 0 ? ? ?1 0 ? ? p (t ) p (t ) ? ? ? 22 ? ? ? ? ? 21 ? ? 21 ? 21 22 ?? 22 ? ? p11 (t ) p12 (t ) ? ?0? ? p11 (t ) p12 (t ) ? ? 2 1 ? ? p (t ) p (t ) ? ?1 ? 2?0 1? ? p (t ) p (t ) ? ? ?1 4 ? ? ? 21 22 ?? ? ? 21 22 ? ?
边界条件为
? p11 (t f ) ? ? p21 (t f ) ? p12 (t f ) ? ?1 0 ? ?? ? ? p22 (t f ) ? ?0 2 ? ? t f ?3

上式展开并整理得微分方程及相应的边界条件
2 ? p11 (t ) ? 2 p12 (t ) ? 2

p11 (3) ? 1
p12 (3) ? 0
p22 (3) ? 2

? p12 (t ) ? ? p11 (t ) ? 2 p12 (t ) p22 (t ) ? 1
2 ? p22 (t ) ? ?2 p12 (t ) ? 2 p22 (t ) ? 4

获得解析解是困难的

7、4 无限时间线性定常系统状态调节器 1 ? ? J ? ?0 ( x Qx ? u ? Ru )dt 2 u? ? t ? ? ?R?1B? Px ? t ? 此时最优控制为

P 为满足下列黎卡提代数矩阵方程
?PA ? A? P ? PBR?1B? P ? Q ? 0

在无限时间调节器问题中要求被控系统必须完全能控, 以保证最优系统的稳定性! 对于无限时间线性定常系统状态调节器最优控制系统是 大范围渐进稳定的。 可以用李雅普诺夫方法证明。

例 已知被控系统的状态方程为
? ? x1 ? ?0 1 ? ? x1 ? ?0? ? x ? ? ?0 0 ? ? x ? ? ?1 ? u ?? 2? ? ? ? ?2 ? ?

试设计状态调节器,使下列性能指标 1 ? 2 其中 J? x ? 2bx x ? ax 2 ? u 2 dt

?0 ? 2

1

1 2

2

?

a ,b ? 0 a ? b

为最小。
?0 1 ? ?0 ? ?1 b ? A?? ? , ? ? ?1 ? , Q ? ?b a ? , R ? 1 ?0 0 ? ? ? ? ?
a 2 ? b2 ? 0

Q 正定
所以系统是能控的,且 Q 和

rank ? B?? AB? ? 2

R

是正定的,故该问题属无限时间调节器问题。

设矩阵

? p11 P?? ? p21

p12 ? p22 ? ?

最优控制为
? p11 u (t ) ? ?R B Px(t ) ? ?1?0 1? ? ? p21
? ?1 ?

p12 ? ? x1 ? t ? ? ? ?? p22 ? ? x2 ? t ?? ? ?

? ? p12 x1 ? t ? ? p22 x2 ? t ?
求黎卡提代数矩阵方程的正定解
? p11 p12 ? ?0 1 ? ?0 0? ? p11 p12 ? ?? ? ?0 0? ? ?1 0? ? p ?? ? ? ? ? 21 p22 ? ? p21 p22 ? ? ? p11 p12 ? ?0? ? p11 p12 ? ?1 b ? ?0 0? ?p ? ?1 ? ?0 1? ? p ? ? ?b a ? ? ?0 0? ? ? ? ? 21 p22 ? ? ? ? 21 p22 ? ?

将上式展开并整理,得下列三个代数方程

p12 ? ?1

? p11 ? p12 p22 ? b ? 0
2 ? p12 ? p22 ? a ? 0

上述代数方程的解为

p12 ? ?1
p12 ? 1

p11 ? p12 p22 ? b
p22 ? a ? 2

p22 ? ? 2 p12 ? a

正定条件下,由上式解得

p11 ? a ? 2 ? b

求得最优控制为 u? ?t ? ? ? x1 (t ) ? a ? 2 x2 (t )

7、4 李雅普诺夫第二方法的解法

? x?Ax
?

设系统稳定,A包含一个或几个可调参数。

J ? ?0 x?Qxdt
Q正定或半正定,试确定可调参数,使性能指标J最小。 设

d T x Px ? ? xT Qx ,P正定、实对称 dx

?T Px ? xT Px ? xT ( AT P ? PA) x ? ? xT Qx ? x
根据李雅普诺夫第二方法知,如果系统稳定,对给定的 Q必存在P使得

A P ? PA ? ?Q
T

性能指标

J ? ? x Qxdt ? ? x Px
T T 0

?

? 0

? ?x T ( ?) Px( ?) ? x T (0) Px(0)
由于系统稳定,则最优性能指标为
J ? xT (0)Px(0)

P是A的函数,初始条件x(0)给定,通过调整A的 可调参数使性能指标极小。

例:系统如图,假设系统开始时是静止的,试确定阻尼 比? ? 0 的值,使系统在单位阶跃输入下,性能指标达到 极小。 r +
e

-

1 s( s ? 2? )

c

C ( s) 1 ? 2 R( s) s ? 2? s ? 1 ?? ? c ? 2? c ? c ? r

e ? r ?c ?? ? e ? 2? e ? e ? ?? ? 2? r r

r (t ) ? 1(t )
?? ? ? e ? 2? e ? e ? 0 , e(0? ) ? 1, e(0? ) ? 0
定义状态变量 x1

? ? e , x2 ? e

1 ? ?0 则状态方程为 x ? ? ? ?x ? ?1 ?2? ? 0? ? ? T ?1 2 2 J ? ?0 ( x1 ?? x2 )dt ? ?0 x ? ?xdt ? ? ?0 ? ?
?1 0 ? Q?? 0 ?? ? ?

由于系统稳定

J ? x (0? ) Px(0? )
T

其中P满足

AT P ? PA ? ?Q 1 ? ?0 ?1 ? ? p11 p12 ? ? p11 p12 ? ? 0 ?1 0 ? ?1 ?2? ? ? p p ? ? ? p p ? ? ?1 ?2? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? 12 22 ? ? 12 22 ? ? ? ? ?
? 1? ? ?? ? 4? P?? 1 ? ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 1? ? ? 4? ? ?

J ? xT (0? ) Px(0? ) ? (? ? 1? ? 2 1? ? 2 ) x1 (0? ) ? x1 (0? ) x2 (0? ) ? x2 (0? ) 4? 4?

? x1 (0? ) ? 1 , x2 (0? ) ? 0 1? ? ? J ?? ? 4?
d 为使J极小,令 d? J ? 0
d 1? ? J ? 1? ?0 d? 4? 2 1? ? 2 2 =0.707 2

? ?* ?

? ? 1 ,? *=




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