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黑龙江省桦南县第二中学高一数学导学案 4.2 《直线、圆的位置关系》必修2

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§4.2 直线、圆的位置关系

学习目标
1.理解直线与圆的几种位置关系; 2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; 3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

学习过程

一、课前准备

(预习教材 P133~ P136,找出疑惑之处) 1.把圆的标准方程 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 整理为圆的一般方



.

把 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2 ? E2 ? 4F ? 0) 整理为圆的标准方程



.

2.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位 于轮船正西 70 km 处,受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区域.已知港口位于台风 中心正北 40 km 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

3.直线与圆的位置关系有哪几种呢?
4.我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?如何用直线与圆的方程判断它们之 间的位置关系呢?
二、新课导学
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※ 学习探究 新知 1:设直线的方程为 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆的方程为 C : x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆 的半径为 r ,圆心 (? D , ? E ) 到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依
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据有以下几点: ⑴当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; ⑵当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; ⑶当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交;
新知 2:如果直线的方程为 y ? kx ? m ,圆的方程为 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 ,将直线方 程代入圆的方程,消去 y 得到 x 的一元二次方程式 Px2 ? Qx ? R ? 0 ,那么:⑴当 ? ? 0 时,直线与圆没有公共点; ⑵当 ? ? 0 时,直线与圆有且只有一个公共点; ⑶当 ? ? 0 时,直线与圆有两个不同的公共点; ※ 典型例题
例 1 用两种方法来判断直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 与圆 (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 的位置关系.
例 2 如图 2,已知直线 l 过点 M ?5,5? 且和圆 C : x2 ? y2 ? 25 相交,截得弦长为 4 5 ,
求 l 的方程
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变式:求直线 x ? y ? 5 ? 0 截圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 所得的弦长.
※ 动手试试
练 1. 直线 y ? x 与圆 x2 ? ? y ?1?2 ? r2 相切,求 r 的值.
练 2. 求圆心在直线 2x ? y ? 3 上,且与两坐标轴相切的圆的方程.
三、总结提升 ※ 学习小结
判断直线与圆的位置关系有两种方法
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① 判断直线与圆的方程组是否有解 a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交
b 无解,则直线与圆相离 ② 如果直线的方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,圆的方程为 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 ,则圆心到

直线的距离 d ? Aa ? Bb ? C .
A2 ? B2
⑴如果 d ? r 直线与圆相交; ⑵如果 d ? r 直线与圆相切; ⑶如果 d ? r 直线与圆相离.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

1. 直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 与圆 (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4

A.相切 B.相离 C.过圆心 D.相交不过圆心

2. 若直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y2 ? m 相切,则 m 的值为( ).

A.0 或 2 B.2

C. 2

D.无解

3 已知直线 l 过点 (?2,0) ,当直线 l 与圆 x2 ? y2 ? 2x 有两个交点时,其斜率 k 的

取值范围是( ).

A. (?2 2, 2 2)

B. (? 2, 2)

C. (? 2 , 2 )
44

D. (? 1 , 1) 88

4. 过点 M (2, 2) 的圆 x2 ? y2 ? 8 的切线方程为

. 5. 圆 x2 ? y2 ? 16 上的点到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离的最大值



.

课后作业 1. 圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 l : x ? y ? 1
? 0 的距离为 2 的点的坐标.

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2. 若直线 4x ? 3y ? a ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 100 .⑴相交;⑵相切;⑶相离;分别求实 数 a 的取值范围.
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