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精选2019年春七年级数学下册第2章二元一次方程2.5三元一次方程组及其解法练*新版浙教版

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2.5

三元一次方程组及其解法(选学)

知识点 解三元一次方程组 基本思路:用代入法或加减法消去一个未知数,化成二元一次方程组,再解这个二元一 次方程组. 消元 消元 [点拨] 一般步骤:三元(方程组)― ― →二元(方程组)― ― →一元(方程). x-2y=9, ? ? 解方程组:?x+y-z=7, ? ?2x-3y+z=12.

探究

一 方程组中每个方程都是三元一次方程的三元一次方程组的解法

教材例 1 变式题解方程组: 2x+4y-3z=9, ? ? ?3x-2y-4z=8, ? ?5x-6y-5z=7.

[归纳总结] 当三元一次方程组中的每一个方程都是三元一次方程(即每个方程含三个未 知数)时,有两种解法.解法一(代入法):首先选择未知数的系数的绝对值较小的方程,在这 个方程中,用其他两个未知数表示这个系数绝对值较小的未知数,然后分别代入另外两个方 程,得到一个二元一次方程组,并解之;解法二(加减法):当方程组中相同未知数的系数的 绝对值之间存在相等或成整数倍数关系或最小公倍数较小时,就可消去这个未知数,转化为 二元一次方程组. 探究 二 用特殊的方法解三元一次方程组

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推荐精品 K12 资料 x+y=7, ? ? 教材补充题解方程组:(1)?y+z=8, ? ?z+x=9; x∶y=3∶2, ? ? (2)?y∶z=5∶4, ? ?x+y+z=66.

[反思] 本节学*的数学知识是三元一次方程组的概念及其解法, 数学思想是消元思想和 x y z x+2y+3z 转化思想.若 = = ≠0,则 =________. 3 4 5 2x

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一、选择题 1.下列方程组中,是三元一次方程组的是( a=1, x+y=2, ? ? ? ? A.?b=2, B.?y+z=1, ? ? ?b-c=3 ?z+c=3 4x-3y=7, xy+z=3, ? ? ? ? C.?5x-2y=14, D.?x+yz=5, ? ? ?2x-y=4 ?xz+y=7 x=1, ? ? 2.解为?y=1,的方程组是( ? ?z=2

)

)

x+y+z=4, x-y-z=0, ? ? ? ? A.?2x+y-z=1, B.?z+y-x=1, ? ? ?3x+2y-4z=-3 ?2x+y-2z=5 x+y=4, 2x+3y-z=5, ? ? ? ? C.?y+z=5, D.?x+y+z=4, ? ? ?x+z=6 ?x-y+2z=2 x+y=1, ? ? 3.三元一次方程组?y+z=5,的解是( ? ?z+x=6 x=1, x=1, ? ? ? ? A.?y=0, B.?y=2, ? ? ?z=5 ?z=4 x=1, x=4, ? ? ? ? C.?y=0, D.?y=1, ? ? ?z=4 ?z=0 a+b-c=1,① ? ? 4.解三元一次方程组:?a+2b-c=3,② ? ?2a-3b+2c=5.③ 具体过程如下: (1)②-①,得 b=2, 推荐精品 K12 资料

)

推荐精品 K12 资料 (2)①×2+③,得 4a-2b=7.
?b=2, ? (3)所以? ? ?4a-2b=7.

(4)把 b=2 代入 4a-2b=7, 得 4a-2×2=7(以下求解过程略). 其中错误的一步是( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 5.若 x,y 同时满足下列三个等式:①5x+2y=a,②3x-2y=7a,③4x+y=a+1,则 a 的值为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 二、填空题 6.已知三元一次方程 2x-3y+4z=8,用含 x,y 的代数式表示 z 是______________. x=-1, ? ? 7.若?y=2, 是关于 x,y,z 的方程 3x+2y+mz=0 的解,则 m=________. ? ?z=1 x+y=5, ? ? 8.已知?y+z=-2,则 x+y+z=________. ? ?z+x=3, x+2y-z=3, ? ? 9.解三元一次方程组?2x+y+z=5,时,先消去 z,得二元一次方程组__________,再 ? ?3x+4y+z=10 消去 y,得一元一次方程________,解得 ________,从而得 y=________,z=________. 三、解答题 10.解下列方程组: 2x+y-3z=3, ? ? (1)?3x-y+2z=-1, ? ?x-y-z=5;

(2)x+3y=y-2z=x+z=5;

2x+3y+z=6, ? ? (3)?x-y+2z=-1, ? ?x+2y-z=5.

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11.若|x-2|+|3x-6y|+(3y+z) =0,求 x+y+z 的值.

2

12.某单位职工在植树节当天去植树,甲、乙、丙三个小组共植树 50 棵,乙组植树的棵 1 数是甲、丙两组和的 ,甲组植树的棵数恰好是乙组和丙组的和,问每组各植树多少棵? 4

13. 为确保信息安全, 信息需加密传输, 发送方由明文― →密文(加密), 接收方由密文― → 明文(解密).已知加密规则为明文 x,y,z 对应密文 2x+3y,3x+4y,3z.例如:明文 1,2, 3 对应密文 8,11,9.当接收方收到密文 12,17,27 时,请你求解密得到的明文.

14.若规定?

?a c? ?2 -1? ?3 y? ?=ad-bc,如? ?=2×0-3×(-1)=3.解方程组:? ?=1, ?b d? ?3 0 ? ?2 x?

?x z ? ? ?=8, ?-3 5? ?3 z? ? ?=-3. ?6 y?

x+y=3a, ? ? [技巧性题目] 已知方程组?y+z=5a,的解使代数式 x-2y+3z 的值等于-10,求 a 的 ? ?z+x=4a 值.

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推荐精品 K12 资料 详解详析

教材的地位 和作用 知识 与技 能 过程 与方 法 情 感、 态度 与价 值观 重点 难点 易错 点

三元一次方程组是代数方程的一种,本节在二元一次方程组解法的基础上, 借助类比的方法学*三元一次方程组的解法.通过对它的学*,可以了解多 元一次方程组的概念和解法,也是后续学*函数、*面解析几何以及物理、 化学等运算的工具.本考点在中考时单独命题,形式多以解答题为主 1.了解三元一次方程组及其相关概念; 2.掌握解简单的三元一次方程组的方法 1.通过对方程组中未知数的特点的观察分析,明确解三元一次方程组的主 要思想是“消元”,从而促成未知向已知转化,培养观察能力和体会化归的 思想; 2.通过代入法、加减法解三元一次方程组及选用合理、简捷的方法解方程 组的训练,培养运算能力

教 学 目 标

通过研究解决问题的方法,培养学生合作交流的意识与探究精神

教学 重点 难点

利用消元思想解某些简单的三元一次方程组 正确、灵活地选择代入法和加减法解三元一次方程组 对用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的变形不熟练,从而导致 解答错误

【预*效果检测】

x-2y=9,① ? ? [解析] ?x+y-z=7,② ①中缺少未知数 z,解法一:由①得 x=2y+9,把 x=2y ? ?2x-3y+z=12,③
+9 分别代入②③,得到一个关于 y,z 的二元一次方程组;解法二:既然①中不含 z,那么 在②和③中消去 z 后,得到一个关于 x,y 的方程 3x-2y=19 与①联立,得到一个关于 x,y 的二元一次方程组.

x-2y=9,① ? ? 解:?x+y-z=7,② ? ?2x-3y+z=12,③
解法一:由①,得 x=2y+9.④
? ?3y-z=-2, 把④分别代入②③,得? ?y+z=-6. ?

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?y=-2, ? ? ?z=-4.

解这个方程组,得?

把 y=-2 代入④,得 x=5.

x=5, ? ? 所以原方程组的解为?y=-2, ? ?z=-4.
解法二:②+③,得 3x-2y=19.④ 联立①与④,得?
? ?x-2y=9, ?3x-2y=19. ? ?x=5, ? ? ?y=-2.

解这个方程组,得?

把 x=5,y=-2 代入②, 得 5-2-z=7, 所以 z=-4.

x=5, ? ? 所以原方程组的解为?y=-2, ? ?z=-4.
【重难互动探究】 2x+4y-3z=9,① ? ? 例 1 [解析] ?3x-2y-4z=8,②解法一(用代入法):方程组中,未知数的系数绝对值 ? ?5x-6y-5z=7,③ 较小的方程有①和②.若选用①,则用含 y,z 的式子表示 x,并分别代入②③消去 x,得关于 y,z 的二元一次方程组;若选用②,则用含 x,z 的式子表示 y,并分别代入①③,消去 y, 得到关于 x,z 的二元一次方程组,其中选用先消去 y 的解法较简单;解法二(用加减法):方 程组中,相同未知数的系数绝对值之间存在相等或成整数倍的关系时,可用加减法.如本题 可消去 y. 2x+4y-3z=9,① ? ? 解:?3x-2y-4z=8,② ? ?5x-6y-5z=7,③ 解法一(用代入法):由②, 得-2y=8-3x+4z, 3 y=-4+ x-2z.④ 2 3 ? ? 把④代入①,得 2x+4?-4+ x-2z?-3z=9, 2 ? ? 即 8x-11z=25.⑤

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推荐精品 K12 资料 3 ? ? 把④代入③,得 5x-6?-4+ x-2z?-5z=7, 2 ? ? 即-4x+7z=-17.⑥
?8x-11z=25, ? ⑤与⑥组成方程组为? ?-4x+7z=-17, ? ? ?x=-1, 解这个方程组,得? ?z=-3. ?

1 把 x=-1,z=-3 代入④,得 y= , 2 x=-1, ? ? 1 所以原方程组的解是?y= , 2 ? ?z=-3. 解法二(用加减法):②×2, 得 6x-4y-8z=16.④ ①+④,得 8x-11z=25.⑤ ②×(-3),得 -9x+6y+12z=-24.⑥ ③+⑥,得-4x+7z=-17.⑦ 以下解法同解法一,略. x+y=7,① ? ? 例 2 [解析] (1)?y+z=8,②因为三个方程相同未知数的系数之和相等,所以三个方 ? ?z+x=9,③ 程相加,除以 2 后,再分别与①②③相减,依次得到 z,x,y 的值; x∶y=3∶2,① ? ? (2)?y∶z=5∶4,② 解法一:由比例的性质,将①②分别变形为 2x=3y 和 4y=5z;解 ? ?x+y+z=66,③ 法二:因为①②中的 y 的份数分别为 2 份、5 份,其最小公倍数为 10 份,所以将①化为 x∶y =15∶10,将②化为 y∶z=10∶8,则 x∶y∶z=15∶10∶8,故可设 x=15k,y=10k,z= 8k(k≠0),然后代入③中,求出 k 的值,即可求出 x,y,z 的值. x+y=7,① ? ? 解: (1)?y+z=8,② ? ?z+x=9,③ ①+②+③,得 2x+2y+2z=24,x+y+z=12.④ ④-①,得 z=5.④-②,得 x=4.

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推荐精品 K12 资料 x=4, ? ? ④-③,得 y=3.所以原方程组的解是?y=3, ? ?z=5. x∶y=3∶2,① ? ? (2)?y∶z=5∶4,② ? ?x+y+z=66,③ 由①,得 x∶y=15∶10, 由②,得 y∶z=10∶8, 所以 x∶y∶z=15∶10∶8. 设 x=15k,y=10k,z=8k,并代入③,得 15k+10k+8k=66,所以 k=2, 所以 x=30,y=20,z=16. x=30, ? ? 所以原方程组的解是?y=20, ? ?z=16. 【课堂总结反思】 [反思] 13 3 x+2y+3z 3k+8k+15k ,得 = 2x 6k

[解析] 解法一:设 x=3k,y=4k,z=5k(k≠0),代入 13 . 3

x+2y+3x 解法二:特值法(仅针对填空、选择题):假设 x=3,y=4,z=5,代入求得 = 2x 13 . 3 【作业高效训练】 [课堂达标] 1.A x=1, ? ? 2.[解析] A 把?y=1,代入四个选项逐一检验. ? ?z=2 3.[解析] A 把三个方程的两边分别相加,再除以 2,得 x+y+z=6 或将选项逐一代 入方程组验证.前一种解法称之为直接法;后一种解法称之为逆推验证法. 4.[解析] B ①×2+③,得 4a-b=7.⑤ 故(2)错,选择 B. 5.C 1 3 6.[答案] z=2- x+ y 2 4

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推荐精品 K12 资料 1 3 [解析] 4z=8-2x+3y,z=2- x+ y. 2 4 7.[答案] -1 x=-1, ? ? [解析] 把?y=2, 代入方程,得 3×(-1)+2×2+m·1=0,得 m=-1. ? ?z=1 8.[答案] 3 [解析] 三个方程相加得 2x+2y+2z=6,所以 x+y+z=3.
? ?3x+3y=8, 9.[答案] (答案不唯一)? 2x=3 ?x+3y=5 ?

3 x= 2

7 5 6 6

10.[解析] 利用加减法消掉一个未知数,将三元一次方程组转化为二元一次方程组,再 进行解答. 2x+y-3z=3,① ? ? 解:(1)?3x-y+2z=-1,② ? ?x-y-z=5,③ 由①+③,得 3x-4x=8.④ 由②-③,得 2x+3z=-6.⑤
?3x-4z=8,④ ? 联立④⑤,得? ? ?2x+3z=-6,⑤ ? ?x=0, 解得? ?z=-2. ?

把 x=0,z=-2 代入③,得 y=-3. x=0, ? ? 所以原方程组的解是?y=-3, ? ?z=-2. x+3y=5, ? ? (2)依题意,得?y-2z=5, ? ?x+z=5, ②+③×2,得 2x+y=15.④
? ?x+3y=5, 由①④组成方程组,得? ?2x+y=15, ? ?x=8, ? 解得? ? ?y=-1.

① ② ③

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推荐精品 K12 资料 把 x=8 代入③,得 z=-3. x=8, ? ? 所以原方程组的解是?y=-1, ? ?z=-3. 2x+3y+z=6,① ? ? (3)?x-y+2z=-1,② ? ?x+2y-z=5,③ ③+①,得 3x+5y=11.④ ③×2+②,得 3x+3y=9.⑤ ④-⑤,得 2y=2,y=1. 将 y=1 代入⑤,得 3x=6,x=2. 将 x=2,y=1 代入①,得 z=-1. x=2, ? ? 所以原方程组的解为?y=1, ? ?z=-1. x-2=0, ? ? 11.解:由题意,得?3x-6y=0, ? ?3y+z=0, x=2, ? ? 解得?y=1, ? ?z=-3, 所以 x+y+z=2+1+(-3)=0. x+y+z=50, ? ?1 12. 解: 设甲、 乙、 丙三个小组分别植树 x 棵、 y 棵和 z 棵. 根据题意, 得? (x+z)=y, 4 ? ?x=y+z, x=25, ? ? 解得?y=10, ? ?z=15. 答:甲、乙、丙三个小组各植树 25 棵、10 棵和 15 棵. 2x+3y=12, x= 3, ? ? ? ? 13.解:依题意,得?3x+4y=17, 解得?y=2, ? ? ?3z=27, ?z=9. 答:解密得到的明文是 3,2,9. 14.解:根据规定得? 推荐精品 K12 资料

?3 y? ?x z ? ?3 z? ?=3x-2y=1,? ?=5x+3z=8,? ?=3y-6z=-3. ?2 x? ?-3 5? ?6 y?

推荐精品 K12 资料 3x-2y=1,① ? ? 所以?5x+3z=8,② ? ?3y-6z=-3,③ ②×2+③,得 10x+3y=13.④
? ?3x-2y=1, ①与④组成二元一次方程组为? ?10x+3y=13, ? ? ?x=1, 解得? 把 y=1 代入③,得 z=1, ?y=1. ?

x=1, ? ? 所以原方程组的解为?y=1, ? ?z=1. [数学活动] x+y=3a,① ? ? 解:?y+z=5a,② ? ?z+x=4a,③ 解法 1:②-①,得 z-x=2a.④ ③+④,得 2z=6a,z=3a. 把 z=3a 分别代入②和③,得 y=2a,x=a. x=a, ? ? 5 ∴?y=2a,将其代入 x-2y+3z=-10,得 a-2×2a+3×3a=-10,解得 a=- . 3 ? ?z=3a. 解法 2(技巧解法): ①+②+③,得 2(x+y+z)=12a, 即 x+y+z=6a.⑤ ⑤-①,得 z=3a;⑤-②,得 x=a;⑤-③,得 y=2a. x=a, ? ? ∴?y=2a,以下同解法 1. ? ?z=3a.

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