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2017-2018学年高中数学第二章推理与证明第19课时数学归纳法课件新人教A版选修2-2_图文

目标导航 1.了解数学归纳法的原理及一般步骤; 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题; 3.能通过“归纳→猜想→证明”解决一些数学问题.

1 新知识· 预习探究 知识点一 数学归纳法 概念 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)归纳奠基:证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立; (2)归纳递推:假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k +1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法.

知识点二 图形表示

2 新视点· 名师博客 数学归纳法证题的三个关键点 1.验证是基础 数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数 n0,这个 n0, 就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数,这个自然数并不一定 都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是第一个关键点. 2.递推是关键 数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要 正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.

3.利用假设是核心 在第二步证明 n=k+1 成立时,一定要利用归纳假设,即必须把 归纳假设“n=k 时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”,在书写 f(k+1)时, 一定要把包含 f(k)的式子写出来, 尤其是 f(k)中的最后一项, 这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.

3 新课堂· 互动探究 考点一 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明: n?n+1? 12 22 n2 + +…+ = 1×3 3×5 ?2n-1??2n+1? 2?2n+1?

1×2 12 解析:(1)当 n=1 时 = 成立. 1×3 2×3 12 22 k2 (2)假设当 n=k 时等式成立即有 + +…+ 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? k?k+1? = , 2?2k+1? ?k+1?2 k?k+1? 12 22 k2 则 + +…+ + = + 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? ?2k+1??2k+3? 2?2k+1? ?k+1?2 ?k+1??k+2? = , ?2k+1??2k+3? 2?2k+3? 即当 n=k+1 时等式也成立. 由(1)(2)可得对于任意的 n∈N*等式都成立.

点评: 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时, 关键在于先“看 项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少 与 n 的取值是否有关, 由 n=k 到 n=k+1 时, 等式两边会增加多少项; 再“两凑”,将 n=k+1 时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形 式——凑假设,然后利用归纳假设,经过恒等变形,得到结论所需的 形式——凑结论.

变式探究 1 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+…+ - = + +…+2n. 2n-1 2n n+1 n+2

1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边=1-2=2, 1 右边= ,命题成立. 2

(2)假设当 n=k 时命题成立,即 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +…+ - = + +…+ , 2 3 4 2k 2k-1 2k k+1 k+2 那么当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+…+ -2k+ - 2k-1 2k+1 2k+2 1 1 1 1 1 = + +…+ + - 2k 2k+1 2k+2 k +1 k +2 1 1 1 1 = + +…+ + . k +2 k +3 2k+1 2k+2 上式表明当 n=k+1 时命题也成立. 由(1)(2)知,等式对任意正整数 n 都成立.

考点二 用数学归纳法证明不等式 1 1 1 例 2 证明不等式 1+ + +…+ <2 n(n∈N*). 2 3 n

解析:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,不等式成立, 1 1 1 即 1+ + +…+ <2 k. 2 3 k 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1+ + +…+ + 2 3 k k+1 2 k k+1+1 ? k?2+? k+1?2+1 1 <2 k+ = < k+1 k+1 k+1 2?k+1? = =2 k+1. k+1 ∴当 n=k+1 时,不等式成立. 由(1)(2)可知,原不等式对任意 n∈N*都成立.

点评: 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些, 方法更灵活些,用数学归纳法证明的第二步,即已知 f(k)>g(k),求证 f(k+1)>g(k+1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、 分 析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点: (1)先凑假设,作等价变换; (2)瞄准当 n=k+1 时的递推目标,有目的地放缩、分析直到凑出 结论.

变式探究 2 (n≥2,n∈N*).

1 1 1 1 1 用数学归纳法证明: 2 + 2 + 2 +…+ 2 < 1 - 2 3 4 n n

1 1 1 1 证明:(1)当 n=2 时,左式=22=4,右式=1-2=2. 1 1 因为4<2,所以不等式成立. (2)假设 n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立. 1 1 1 1 1 即22+32+42+…+k2<1-k, 1 1 1 1 1 1 1 则当 n=k+1 时, + + +…+ + < 1 - + 22 32 42 k2 ?k+1?2 k ?k+1?2=1 k2+k+1 k?k+1? 1 - <1- =1- , k?k+1?2 k?k+1?2 k+1 所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 综上所述,对任意 n≥2 的正整数,不等式都成立.

考点三 用数学归纳法证明整除问题 - - 例 3 证明:对任意 n∈N*,x2n 1+y2n 1 能被 x+y 整除.

证明:(1)当 n=1 时,x2 1 1+y2 1 1=x+y,能被 x+y 整除, 结论成立. - - (2)假设 n=k 时,x2k 1+y2k 1 能被 x+y 整除,则当 n=k+1 时, + + + - - + - - x2k 1+y2k 1=x2k 1+x2y2k 1-x2y2k 1+y2k 1=x2(x2k 1+y2k 1)- - (x2-y2)y2k 1, 由归纳假设知 x2k-1+y2k-1 能被 x+y 整除,而 x2-y2 也能被 x +y 整除, 所以 x2k+1+y2k+1 能被 x+y 整除, 即当 n=k+1 时命题也成立. 由(1)和(2)知,命题对任意 n∈N*都成立.
× - × -

点评: 在推证 n=k+1 时, 为了凑出归纳假设, 采用了“增减项” 技巧,所以证明整除性问题的关键是“凑项”,采用增项、减项、拆 项和因式分解等手段,凑出 n=k 时的情形,从而利用归纳假设使问题 得证.

变式探究 3 已知 f(n)=(2n+7)×3n+9(n∈N*),用数学归纳法 证明 f(n)能被 36 整除.

证明:(1)当 n=1 时,f(1)=(2+7)×3+9=36,能被 36 整除. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,f(k)=(2k+7)×3k+9 能被 36 整除,则 当 n=k+1 时,f(k+1)=[2(k+1)+7]×3k+1+9=(2k+7)×3k+1+2×3k +1 + + +9=(2k+7)×3k×3+2×3k 1+9=3[(2k+7)×3k+9]-27+2×3k 1 - - +9=3[(2k+7)×3k+9]+18(3k 1-1).由于 3k 1-1 是 2 的倍数,故 18(3k-1-1)能被 36 整除,这就是说,当 n=k+1 时,f(n)也能被 36 整 除. 根据(1)和(2),可知对一切正整数 n,都有 f(n)=(2n+7)×3n+9 能被 36 整除.

考点四 用数学归纳法证明几何问题 1 例 4 证明凸 n 边形的对角线的条数 f(n)= n(n-3)(n≥4, n∈N*). 2

1 解析:(1)当 n=4 时,f(4)=2×4×(4-3)=2,凸四边形有两条对 角线,命题成立. (2)假设 n=k(k≥4 且 k∈N*)时命题成立.即凸 k 边形的对角线的 1 条数 f(k)=2k(k-3)(k≥4),当 n=k+1 时,凸(k+1)边形是在 k 边形基 础上增加了一边,增加了一个顶点,设为 Ak+1,增加的对角线是顶点 Ak+1 与不相邻顶点的连线再加上原 k 边形一边 AiAk,共增加了对角线 的条数为 k-2+1=k-1. 1 1 2 1 ∴f(k+1)=2k(k-3)+k-1=2(k -k-2)=2(k+1)(k-2) 1 = (k+1)[(k+1)-3] 2 故当 n=k+1 时命题成立.由(1)(2)知,对任意 n≥4,n∈N*,命 题成立.

点评:(1)用数学归纳法证明几何问题时一要注意数形结合,二要 注意有必要的文字说明. (2)证明时的关键是确定由 n=k 到 n=k+1 时对角线条数的增加 量, 解题时可先用 f(k+1)-f(k)得出结果, 再结合图形给予严谨的说明.

变式探究 4 平面内有 n(n∈N*)个圆,其中每两个圆都相交于两 点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这 n 个圆把平面分成 n2-n +2 个部分.

证明:(1)当 n=1 时,n2-n+2=2,即一个圆把平面分成两部分, 故结论成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时命题成立,即 k 个圆把平面分成 k2 -k+2 个部分. 则当 n=k+1 时,这 k+1 个圆中的 k 个圆把平面分成 k2-k+2 个部分,第 k+1 个圆被前 k 个圆分成 2k 条弧,这 2k 条弧中的每一条 把所在的部分分成了 2 块,这时共增加 2k 个部分,故 k+1 个圆把平 面分成 k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2 个部分,即当 n=k+1 时命 题也成立. 综上所述,对一切 n∈N*,命题都成立.

考点五 归纳、猜想、证明 ?n-1?an 1 例 5 数列{an}中,a1=1,a2=4,且 an+1= (n≥2),求 a3, n-an a4,猜想 an 的表达式,并加以证明.

?n-1?an 1 解析:∵a2= ,且 an+1= (n≥2) 4 n-an 1 1 2×7 4 a2 1 2a3 1 ∴a3= = 1=7,a4= = 1=10. 2-a2 3-a3 2-4 3-7 1 猜想:an= (n∈N*). 3n-2 下面用数学归纳法证明猜想正确. (1)当 n=1,2 易知猜想正确.

(2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时猜想正确, 1 即 ak= .当 n=k+1 时, 3k-2 k-1 1 ?k-1?· 3k-2 3k-2 ?k-1?ak ak+1= = = 2 1 k-ak 3k -2k-1 k- 3k-2 3k-2 k -1 k -1 = 2 = 3k -2k-1 ?3k+1??k-1? 1 1 = = 3k+1 3?k+1?-2 ∴n=k+1 时猜想也正确. 由(1)(2)可知,猜想对任意 n∈N*都正确.

点评:本题考查观察、分析、归纳、发现规律的能力,考查数学 归纳法在等式证明中的应用.这类题的基本思路是:在探讨某些问题 时,可以先从观察入手,发现问题的特点,以形成解决问题的初步思 路,然后用归纳的方法进行试探,提出猜想,最后用数学归纳法给出 证明.

1 1 1 1 变式探究 5 已知 Sn 为数列 , , , …, 1×4 4×7 7×10 ?3n-2??3n+1? 的前 n 项和,计算 S1,S2,S3,根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并 用数学归纳法进行证明.

1 1? 1? 解析:S1= = ?1-4?; 1×4 3? ? 1 1 1?? 1? ?1 1?? 1? 1? S2= + =3??1-4?+?4-7??=3?1-7?; 1×4 4×7 ?? ? ? ?? ? ? 1? 1 1 1 1? 1? ?1 1? ?1 1 ? 1? S3= + + =3?1-4?+?4-7?+?7-10?=3?1-10?. 1×4 4×7 7×10 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1? 猜想 Sn=3?1-3n+1?(n∈N*). ? ? 下面用数学归纳法证明. (1)当 n=1 时,易知猜想正确. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时猜想成立,

1 ? 1? 即 Sk=3?1-3k+1?. ? ? 当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 Sk+1= + + +…+ + 1×4 4×7 7×10 ?3k-2??3k+1? ?3k+1??3k+4? 1 ? 1? 1 =3?1-3k+1?+ ? ? ?3k+1??3k+4? 1 ? 1? 1 1 ? 1? =3?1-3k+1?+3?3k+1-3k+4? ? ? ? ? ? 1 ? 1? 1 1? = ?1-3k+4?= ?1-3?k+1?+1? 3? ? 3? ? ∴当 n=k+1 时猜想也成立. 1 ? 1? * 根据(1)、(2),可知对 n∈N ,Sn= ?1-3n+1?都成立. 3? ?

4 新思维· 随堂自测 1 1 1 1 1.设 Sk= + + +…+2k,则 Sk+1 为( k + 1 k + 2 k +3 1 1 1 A.Sk+ B.Sk+ + 2k+2 2k+1 2k+2 1 1 1 1 C.Sk+ - D.Sk+ - 2k+1 2k+2 2k+2 2k+1

)

解析:因式子右边各分数的分母是连续正整数,则由 1 1 1 Sk = + +…+2k,① k + 1 k +2 1 1 1 1 1 得 Sk+1= + +…+2k+ + .② k+2 k+3 2k+1 2?k+1? 1 1 1 1 1 由②-①,得 Sk+1-Sk= + - = - . 2k+1 2?k+1? k+1 2k+1 2?k+1? 1 1 故 Sk+1=Sk+ - . 2k+1 2?k+1? 答案:C

1 1 1 2.利用数学归纳法证明不等式 1+2+3+…+ n <n(n≥2,n 2 -1 ∈N*)的过程中,由 n=k 变到 n=k+1 时,左边增加了( ) A.1 项 B.k 项 C.2k-1 项 D.2k 项

1 解析:当 n=k 时,不等式左边的最后一项为 k ,而当 n=k+1 2 -1 1 1 时,最后一项为 k+1 = k ,并且不等式左边和式的分母的变 2 -1 2 -1+2k 化规律是每一项比前一项加 1,故增加了 2k 项. 答案:D

3.设平面内有 n 条直线,其中任何两条直线不平行,任何三条直 线不共点.若 k 条直线将平面分成 f(k)个部分,k+1 条直线将平面分 成 f(k+1)个部分,则 f(k+1)=f(k)+__________.

解析:第 k+1 条直线与原来的 k 条直线相交,有 k 个交点,这 k 个交点把第 k+1 条直线分成 k+1 部分(线段或射线),这 k+1 部分把 它们所在的平面区域一分为二,故平面增加了 k+1 部分. 答案:k+1

4.用数学归纳法证明 42n+1+3n+2 能被 13 整除,其中 n∈N*,则 当 n=k+1 时式子应当整理成__________.

解析:当 n=k+1 时,42(k+1)+1+3k+3 =42k+1· 42+3k+2· 3-42k+1· 3+42k+1· 3 + + + =42k 1· 13+3· (42k 1+3k 2). 答案:42k+1· 13+3· (42k+1+3k+2)

1 1 1 13 5.若 n 为大于 1 的自然数,求证: + +…+2n>24. n+1 n+2

1 1 7 13 证明:(1)当 n=2 时, + = > ,即不等式成立. 2+1 2+2 12 24 (2)假设当 n=k(k≥2,且 k∈N*)时不等式成立, 1 1 1 13 即 + +…+2k>24, k+1 k+2 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 + +…+2k+ + + - k+2 k+3 2k+1 2k+2 k+1 k+1 13 1 1 1 13 1 1 >24+ + - = + - 2k+1 2k+2 k+1 24 2k+1 2k+2 13 1 13 = + > . 24 2?2k+1??k+1? 24 ∴当 n=k+1(k≥2,k∈N*)时不等式成立. 由(1),(2)知,当 n≥2,且 n∈N*时,不等式成立.



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